4.1. Потери механической энергии и работа непотенциальных сил. К.П.Д. Машины
Если бы закон сохранения механической энергии выполнялся в реальных установках (типа машины Обербека), тогда много расчётов можно было бы делать на основе уравнения:
Т о + П о = Т(t) + П(t) , (8)
где: Т о + П о = Е о - механическая энергия в начальный момент времени;
Т(t) + П(t) = Е(t) - механическая энергия в некоторый последующий момент времени t.
Применим формулу (8) к машине Обербека, где можно изменять высоту подъёма груза на нити (центр масс стержневой части установки не меняет своего положения). Поднимем груз на высоту h от нижнего уровня (где считаем П =0). Пусть вначале система с поднятым грузом покоится, т.е. Т о = 0, П о = mgh (m - масса груза на нити). После отпуска груза в системе начинается движение и её кинетическая энергия равна сумме энергии поступательного движения груза и вращательного движения стержневой части машины:
Т
=
+
,
(9)
где
-
скорость поступательного движения
груза;
,
J
- угловая скорость вращения и момент
инерции стержневой части
Для момента времени, когда груз опускается на нулевой уровень, из формул (4), (8) и (9) получаем:
mgh
=
,
(10)
где
,
0к
- линейная
и угловая скорости в конце спуска.
Формула (10)
представляет собой уравнение, из которого
(в зависимости от условий опыта) можно
определять скорости
и
,
массуm
,
момент инерции J
,
либо высоту h.
Однако формула (10) описывает идеальный тип установки, при движении частей которой отсутствуют силы трения и сопротивления. Если работа таких сил не равна нулю, тогда механическая энергия системы не сохраняется. Вместо уравнения (8) в этом случае следует записать:
Т о +П о = Т(t) + П(t) + A s , (11)
где А s - суммарная работа непотенциальных сил за все время движения.
Для машины Обербека получаем:
mgh
=
,
(12)
где
,
k
- линейная
и угловая скорости в конце спуска при
наличии потерь энергии.
В исследуемой здесь установке действуют силы трения на оси шкива и дополнительного блока, а также силы сопротивления атмосферы при движении груза и вращении стержней. Работа этих непотенциальных сил заметно уменьшает скорости движения частей машины.
В результате действия непотенциальных сил часть механической энергии преобразуется в другие формы энергии: внутреннюю энергию и энергию излучения. При этом работа Аs точно равна суммарному значению этих других форм энергии, т.е. всегда выполняется фундаментальный, общефизический закон сохранения энергии.
Однако в установках, где происходит движение макроскопических тел, наблюдаются потери механической энергии , определяемые величиной работы Аs. Это явление существует во всех реальных машинах. По этой причине вводится специальное понятие: коэффициент полезного действия - к.п.д . Такой коэффициент определяет отношение полезной работы к запасённой (израсходованной) энергии.
В машине Обербека полезная работа равна полной кинетической энергии в конце спуска груза на нити, и к.п.д. определяется формулой:
к.п.д
.=
(13)
Здесь П о = mgh - запасённая энергия, израсходованная (преобразованная) в кинетическую энергию машины и в потери энергии, равные Аs, Т к - полная кинетическая энергия в конце спуска груза (формула (9)).
1. Рассмотрим свободное падение тела с некоторой высоты h относительно поверхности Земли (рис. 77). В точке A тело неподвижно, поэтому оно обладает только потенциальной энергией.В точке B на высоте h 1 тело обладает и потенциальной энергией, и кинетической энергией, поскольку тело в этой точке имеет некоторую скорость v 1 . В момент касания поверхности Земли потенциальная энергия тела равна нулю, оно обладает только кинетической энергией.
Таким образом, во время падения тела его потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая увеличивается.
Полной механической энергией E называют сумму потенциальной и кинетической энергий.
E = E п + E к.
2. Покажем, что полная механическая энергия системы тел сохраняется. Рассмотрим еще раз падение тела на поверхность Земли из точки A в точку C (см. рис. 78). Будем считать, что тело и Земля представляют собой замкнутую, систему тел, в которой действуют только консервативныесилы, в данном случае сила тяжести.
В точке A полная механическая энергия тела равна его потенциальной энергии
E = E п = mgh .
В точке B полная механическая энергия тела равна
E
= E
п1 + E
к1 .
E
п1 = mgh
1 , E
к1 = .
Тогда
E = mgh 1 + .
Скорость тела v 1 можно найти по формуле кинематики. Поскольку перемещение тела из точки A в точку B равно
s = h – h 1 = , то= 2g (h – h 1).
Подставив это выражение в формулу полной механической энергии, получим
E = mgh 1 + mg (h – h 1) = mgh .
Таким образом, в точке B
E = mgh .
В момент касания поверхности Земли (точка C ) тело обладает только кинетической энергией, следовательно, его полная механическая энергия
E = E к2 = .
Скорость тела в этой точке можно найти по формуле= 2gh , учитывая, что начальная скорость тела равна нулю. После подстановки выражения для скорости в формулу полной механической энергии получим E = mgh .
Таким образом, мы получили, что в трех рассмотренных точках траектории полная механическая энергия тела равна одному и тому же значению: E = mgh . К такому же результату мы придем, рассмотрев другие точки траектории тела.
Полная механическая энергия замкнутой системы тел, в которой действуют только консервативные силы, остается неизменной при любых взаимодействиях тел системы.
Это утверждение является законом сохранения механической энергии.
3. В реальных системах действуют силы трения. Так, при свободном падении тела в рассмотренном примере (см. рис. 78) действует сила сопротивления воздуха, поэтому потенциальная энергия в точке A больше полной механической энергии в точке B и в точке C на величину работы, совершаемой силой сопротивления воздуха: DE = A . При этом энергия не исчезает, часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию тела и воздуха.
4. Как вы уже знаете из курса физики 7 класса, для облегчения труда человека используют различные машины и механизмы, которые, обладая энергией, совершают механическую работу. К таким механизмам относят, например, рычаги, блоки, подъемные краны и др. При совершении работы происходит преобразование энергии.
Таким образом, любая машина характеризуется величиной, показывающей, какая часть передаваемой ей энергии используется полезно или какая часть совершенной (полной) работы является полезной. Эта величина называется коэффициентом полезного действия (КПД).
Коэффициентом полезного действия h называют величину, равную отношению полезной работы A n к полной работе A .
Обычно КПД выражают в процентах.
h = 100%.
5. Пример решения задачи
Парашютист массой 70 кг отделился от неподвижно висящего вертолета и, пролетев 150 м до раскрытия парашюта, приобрел скорость 40 м/с. Чему равна работа силы сопротивления воздуха?
|
Дано : |
Решение |
|
m = 70 кг v 0 = 0 v = 40 м/с sh = 150 м |
За нулевой уровень потенциальной энергии выберем уровень, на котором парашютист приобрел скорость v . Тогда при отделении от вертолета в начальном положении на высоте h полная механическая энергия парашютиста, равна его потенциальной энергии E=E п = mgh , поскольку его кинети- |
|
A ? |
ческая энергия на данной высоте равна нулю. Пролетев расстояние s = h , парашютист приобрел кинетическую энергию, а его потенциальная энергия на этом уровне стала равна нулю. Таким образом, во втором положении полная механическая энергия парашютиста равна его кинетической энергии:
E = E к = .
Потенциальная энергия парашютиста E п при отделении от вертолета не равна кинетической E к, поскольку сила сопротивления воздуха совершает работу. Следовательно,
A = E к – E п;
A =– mgh .
A =– 70 кг 10 м/с 2 150 м = –16 100 Дж.
Работа имеет знак «минус», поскольку она равна убыли полной механической энергии.
Ответ: A = –16 100 Дж.
Вопросы для самопроверки
1. Что называют полной механической энергией?
2. Сформулируйте закон сохранения механической энергии.
3. Выполняется ли закон сохранения механической энергии, если на тела системы действует сила трения? Ответ поясните.
4. Что показывает коэффициент полезного действия?
Задание 21
1. Мяч массой 0,5 кг брошен вертикально вверх со скоростью 10 м/с. Чему равна потенциальная энергия мяча в высшей точке подъема?
2. Спортсмен массой 60 кг прыгает с 10-метровой вышки в воду. Чему равны: потенциальная энергия спортсмена относительно поверхности воды перед прыжком; его кинетическая энергия при вхождении в воду; его потенциальная и кинетическая энергия на высоте 5 м относительно поверхности воды? Сопротивлением воздуха пренебречь.
3. Определите коэффициент полезного действия наклонной плоскости высотой 1 м и длиной 2 м при перемещении по ней груза массой 4 кг под действием силы 40 Н.
Основное в главе 1
1. Виды механического движения.
2. Основные кинематические величины (табл. 2).
Таблица 2
|
Название |
Обозначение |
Что характери- зует |
Едини ца изме- рения |
Способ измерения |
Вектор или скаляр |
Относительная или абсолютная |
|
Координат а |
x , y , z |
положение тела |
м |
Линейка |
Скаляр |
Относительная |
|
Путь |
l |
изменение положения тела |
м |
Линейка |
Скаляр |
Относительная |
|
Перемеще ние |
s |
изменение положения тела |
м |
Линейка |
Вектор |
Относительная |
|
Время |
t |
длительность процесса |
с |
Секундомер |
Скаляр |
Абсолютная |
|
Скорость |
v |
быстроту изменения положения |
м/с |
Спидометр |
Вектор |
Относительная |
|
Ускорение |
a |
быстроту изменения скорости |
м/с2 |
Акселерометр |
Вектор |
Абсолютная |
3. Основные уравнения движения (табл. 3).
Таблица 3
|
Прямолинейное |
Равномерное по окружности |
||
|
Равномерное |
Равноускоренное |
||
|
Ускорение |
a = 0 |
a = const; a = |
a = ; a = w2R |
|
Скорость |
v = ; vx = |
v = v 0 + at ; vx = v 0x + axt |
v = ; w = |
|
Перемещение |
s = vt ; sx =vxt |
s = v 0t + ; sx =vxt+ |
|
|
Координата |
x = x 0 + vxt |
x = x 0 + v 0xt + |
|
4. Основные графики движения.
Таблица 4
|
Вид движения |
Модуль и проекция ускорения |
Модуль и проекция скорости |
Модуль и проекция перемещения |
Координата* |
Путь* |
|
Равномерное |
|||||
|
Равноускоренно е |
5. Основные динамические величины.
Таблица 5
|
Название |
Обозна- чение |
Едини ца изме- рения |
Что характеризует |
Способ измерения |
Вектор или скаляр |
Относитель ная или абсолютная |
|
Масса |
m |
кг |
Инертность |
Взаимодействие, взвешивание на рычажных весах |
Скаляр |
Абсолютная |
|
Сила |
F |
Н |
Взаимодействие |
Взвешивание на пружинных весах |
Вектор |
Абсолютная |
|
Импульс тела |
p = m v |
кгм/с |
Состояние тела |
Косвенный |
Вектор |
Относительна я |
|
Импульс силы |
F t |
Нс |
Изменение состояния тела (изменение импульса тела) |
Косвенный |
Вектор |
Абсолютная |
6. Основные законы механики
Таблица 6
|
Название |
Формула |
Примечание |
Границы и условия применимости |
|
Первый закон Ньютона |
Устанавливаетсуществование инерциальных систем отсчета |
Справедливы: в инерциальных системах отсчета; для материальных точек; для тел, движущихся со скоростями, много меньшими скорости света |
|
|
Второй закон Ньютона |
a = |
Позволяет определить силу, действующую на каждое из взаимодействующих тел |
|
|
Третий закон Ньютона |
F 1 = F 2 |
Относится к обоим взаимодействующим телам |
|
|
Второй закон Ньютона (другая формулировка) |
m v m v 0 = F t |
Устанавливает изменение импульса тела при действии на него внешней силы |
|
|
Закон сохранения импульса |
m 1 v 1 + m 2 v 2 = = m 1 v 01 + m 2 v 02 |
Справедлив для замкнутых систем |
|
|
Закон сохранения механической энергии |
E = E к + E п |
Справедлив для замкнутых систем, в которых действуют консервативные силы |
|
|
Закон изменения механической энергии |
A = D E = E к + E п |
Справедлив для незамкнутых систем, в которых действуют неконсервативные силы |
7. Силы в механике.
8. Основные энергетические величины.
Таблица 7
|
Название |
Обознач ение |
Едини цаbиз ме- рения |
Что характеризует |
Связь с другими величинами |
Вектор или скаляр |
Относительная или абсолютная |
|
Работа |
A |
Дж |
Измерение энергии |
A =Fs |
Скаляр |
Абсолютная |
|
Мощность |
N |
Вт |
Быстроту совершения работы |
N = |
Скаляр |
Абсолютная |
|
Механическа я энергия |
E |
Дж |
Способность совершить работу |
E = E п + E к |
Скаляр |
Относительная |
|
Потенциальн ая энергия |
E п |
Дж |
Положение |
E п = mgh E п = |
Скаляр |
Относительная |
|
Кинетическа я энергия |
E к |
Дж |
Положение |
E к = |
Скаляр |
Относительная |
|
Коэффициен т полезного действия |
Какая часть совершенной работы является полезной |
Принцип сохранения энергии - абсолютно точен, не зафиксировано случаев его нарушения. Это фундаментальный закон природы, из которого вытекают другие. Поэтому важно правильно понимать его и уметь применять на практике.
Фундаментальный принцип
Общего определения для понятия энергии не существует. Выделяют разные ее виды: кинетическую, тепловую, потенциальную, химическую. Но сути это не проясняет. Энергия - некая количественная характеристика, которая, чтобы бы не происходило, остается постоянной для всей системы. Можно наблюдать, как скользящая шайба останавливается, и заявить: энергия изменилась! На самом деле нет: механическая энергия перешла в тепловую, часть которой рассеялась в воздухе, а часть ушла на плавление снега.
Рис. 1. Переход работы, затрачиваемой на преодоление трения, в тепловую энергию.
Математик, Эмми Нетер, сумела доказать, что постоянство энергии - проявление однородности времени. Эта величина инвариантна относительно переноса вдоль временной координаты, поскольку законы природы с течением времени не меняются.
Будем рассматривать полную механическую энергию (E) и ее виды - кинетическую (T) и потенциальную (V). Если сложить их, то получим выражение для полной механической энергии:
$E = T + V_{(q)}$
Записывая потенциальную энергию, как $V_{(q)}$, указываем, что она зависит исключительно от конфигурации системы. Под q понимаются обобщенные координаты. Это могут быть x, y, z в прямоугольной декартовой системе координат, а могут быть любые другие. Чаще всего имеют дело с декартовой системой.
Рис. 2. Потенциальная энергия в поле тяжести.
Математическая формулировка закона сохранения энергии в механике выглядит так:
$\frac {d}{dt}(T+V_{(q)}) = 0$ – производная полной механической энергии по времени равна нулю.
В привычном, интегральном виде, формула закона сохранения энергии записывается так:
В механике на закон накладываются ограничения: силы, действующие на систему, должны быть консервативным (их работа зависит только от конфигурации системы). При наличии неконсервативных сил, например, трения, механическая энергия переходит в другие виды энергии (тепловую, электрическую).
Термодинамика
Попытки создать вечный двигатель особенно характерны для 18-19 веков - эпохи, когда были сделаны первые паровые машины. Неудачи, тем не менее, привели к положительному результату: было сформулировано первое начало термодинамики:
$Q = \Delta U + A$ – затрачиваемое тепло расходует на совершение работы и на изменение внутренней энергии. Это ни что иное, как закон сохранения энергии, но для тепловых двигателей.
Рис. 3. Схема паровой машины.
Задачи
Груз массой 1 кг, подвешенный на нити L=2 м, отклонили так, что высота поднятия оказалась равной 0,45 м, и отпустили без начальной скорости. Какова будет сила натяжения нити в нижней точке?
Решение:
Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось y в момент, когда тело проходит нижнюю точку:
$ma = T – mg$, но, так как $a = \frac {v^2}{L}$, его можно переписать в новом виде:
$m \cdot \frac {v^2}{L} = T – mg$
Теперь запишем закон сохранения энергии, учитывая, что в начальном положении кинетическая энергия равна нулю, а в нижней точке - потенциальная энергия равна нулю:
$m \cdot g \cdot h = \frac {m \cdot v^2}{2}$
Тогда сила натяжения нити равна:
$T = \frac {m \cdot 2 \cdot g \cdot h}{L} + mg = 10 \cdot (0,45 + 1) = 14,5 \: Н$
Что мы узнали?
В ходе урока рассмотрели фундаментальное свойство природы (однородность времени), из которого вытекает закон сохранения энергии, рассмотрели примеры этого закона в разных разделах физики. Для закрепления материала решили задачу с маятником.
Тест по теме
Оценка доклада
Средняя оценка: 4.4 . Всего получено оценок: 252.
Данный видеоурок предназначен для самостоятельного ознакомления с темой «Закон сохранения механической энергии». Вначале дадим определение полной энергии и замкнутой системы. Затем сформулируем Закон сохранения механической энергии и рассмотрим, в каких областях физики можно его применять. Также мы дадим определение работы и научимся её определять, рассмотрев связанные с ней формулы.
Темой урока является один из фундаментальных законов природы - закон сохранения механической энергии .
Мы ранее говорили о потенциальной и кинетической энергии, а также о том, что тело может обладать вместе и потенциальной, и кинетической энергией. Прежде чем говорить о законе сохранения механической энергии вспомним, что такое полная энергия. Полной механической энергией называют сумму потенциальной и кинетической энергий тела.
Также вспомним, что называют замкнутой системой. Замкнутая система - это такая система, в которой находится строго определенное количество взаимодействующих между собой тел и никакие другие тела извне на эту систему не действуют.
Когда мы определились с понятием полной энергии и замкнутой системы, можно говорить о законе сохранения механической энергии. Итак, полная механическая энергия в замкнутой системе тел, взаимодействующих друг с другом посредством сил тяготения или сил упругости (консервативных сил), остается неизменной при любом движении этих тел.
Мы уже изучали закон сохранения импульса (ЗСИ):
Очень часто случается так, что поставленные задачи можно решить только с помощью законов сохранения энергии и импульса.
Рассмотреть сохранение энергии удобно на примере свободного падения тела с некоторой высоты. Если некоторое тело находится в состоянии покоя на некоторой высоте относительно земли, то это тело обладает потенциальной энергией. Как только тело начинает свое движение, высота тела уменьшается, уменьшается и потенциальная энергия. При этом начинает нарастать скорость, появляется энергия кинетическая. Когда тело приблизилось к земле, то высота тела равна 0, потенциальная энергия тоже равна 0, а максимальной будет являться кинетическая энергия тела. Вот здесь и просматривается превращение потенциальной энергии в кинетическую (рис. 1). То же самое можно сказать о движении тела наоборот, снизу вверх, когда тело бросают вертикально вверх.
Рис. 1. Свободное падение тела с некоторой высоты
Дополнительная задача 1. «О падении тела с некоторой высоты»
Задача 1
Условие
Тело находится на высоте от поверхности Земли и начинает свободно падать. Определите скорость тела в момент соприкосновения с землей.
Решение 1:
Начальная скорость тела . Нужно найти .
Рассмотрим закон сохранения энергии.
Рис. 2. Движение тела (задача 1)
В верхней точке тело обладает только потенциальной энергией: . Когда тело приблизится к земле, то высота тела над землей будет равна 0, а это означает, что потенциальная энергия у тела исчезла, она превратилась в кинетическую:
Согласно закону сохранения энергии можем записать:
Масса тела сокращается. Преобразуя указанное уравнение, получаем: .
Окончательный ответ будет: . Если подставить все значение, то получим:.
Ответ: .
Пример оформления решения задачи:
Рис. 3. Пример оформления решения задачи № 1
Данную задачу можно решить еще одним способом, как движение по вертикали с ускорением свободного падения.
Решение 2 :
Запишем уравнение движения тела в проекции на ось :
Когда тело приблизится к поверхности Земли, его координата будет равна 0:
Перед ускорением свободного падения стоит знак «-», поскольку оно направлено против выбранной оси .
Подставив известные величины, получаем, что тело падало на протяжении времени . Теперь запишем уравнение для скорости:
Полагая ускорение свободного падения равным получаем:
Знак минус означает, что тело движется против направления выбранной оси.
Ответ: .
Пример оформления решения задачи № 1 вторым способом.
Рис. 4. Пример оформления решения задачи № 1 (способ 2)
Также для решения данной задачи можно было воспользоваться формулой, которая не зависит от времени:
Конечно, нужно отметить, что данный пример мы рассмотрели с учетом отсутствия сил трения, которые в реальности действуют в любой системе. Обратимся к формулам и посмотрим, как записывается закон сохранения механической энергии:
Дополнительная задача 2
Тело свободно падает с высоты . Определите, на какой высоте кинетическая энергия равна трети потенциальной ().
Рис. 5. Иллюстрация к задаче № 2
Решение:
Когда тело находится на высоте , оно обладает потенциальной энергией, и только потенциальной. Эта энергия определяется формулой: 
.
Это и будет полная энергия тела.
Когда тело начинает двигаться вниз, уменьшается потенциальная энергия, но вместе с тем нарастает кинетическая. На высоте, которую нужно определить, у тела уже будет некоторая скорость V. Для точки, соответствующей высоте h, кинетическая энергия имеет вид:
Потенциальная энергия на этой высоте будет обозначена следующим образом: 
.
По закону сохранения энергии, у нас полная энергия сохраняется. Эта энергия 
остается величиной постоянной. Для точки мы можем записать следующее соотношение: (по З.С.Э.).
Вспоминая, что кинетическая энергия по условию задачи составляет , можем записать следующее: .
Обратите внимание: масса и ускорение свободного падения сокращается, после несложных преобразований мы получаем, что высота, на которой такое соотношение выполняется, составляет .
Ответ:
Пример оформления задачи 2.
Рис. 6. Оформление решения задачи № 2
Представьте себе, что тело в некоторой системе отсчета обладает кинетической и потенциальной энергией. Если система замкнутая, то при каком-либо изменении произошло перераспределение, превращение одного вида энергии в другой, но полная энергия остается по своему значению той же самой (рис. 7).
Рис. 7. Закон сохранения энергии
Представьте себе ситуацию, когда по горизонтальной дороге движется автомобиль. Водитель выключает мотор и продолжает движение уже с выключенным мотором. Что в этом случае происходит (рис. 8)?
Рис. 8. Движение автомобиля
В данном случае автомобиль обладает кинетической энергией. Но вы прекрасно знаете, что с течением времени автомобиль остановится. Куда девалась в этом случае энергия? Ведь потенциальная энергия тела в данном случае тоже не изменилась, она была какой-то постоянной величиной относительно Земли. Как произошло изменение энергии? В данном случае энергия пошла на преодоление сил трения. Если в системе встречается трение, то оно также влияет на энергию этой системы. Посмотрим, как записывается в данном случае изменение энергии.
Изменяется энергия, и это изменение энергии определяется работой против силы трения. Определить работу силы трения мы можем с помощью формулы, которая известна из 7 класса (сила и перемещение направлены противоположно):
Итак, когда мы говорим об энергии и работе, то должны понимать, что каждый раз мы должны учитывать и то, что часть энергии расходуется на преодоление сил трения. Совершается работа по преодолению сил трения. Работа является величиной, которая характеризует изменение энергии тела.
В заключение урока хотелось бы сказать, что работа и энергия по сути своей связанные величины через действующие силы.
Дополнительная задача 3
Два тела - брусок массой и пластилиновый шарик массой - движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями (). После столкновения пластилиновый шарик прилип к бруску, два тела продолжают движение вместе. Определить, какая часть механической энергии превратилась во внутреннюю энергию этих тел, с учетом того что масса бруска в 3 раза больше массы пластилинового шарика ().
Решение:
Изменение внутренней энергии можно обозначить . Как вы знаете, существует несколько видов энергии. Кроме механической, существует еще и тепловая, внутренняя энергия.
Загрузка...
