Príklad 2
Určte elektrickú energiu interakcie nabitého prstenca s dipólom umiestneným na jeho osi, ako je znázornené na obr. Známe vzdialenosti a, l, poplatky Q, q a polomer prstenca R.
Riešenie.
Pri riešení problému treba brať do úvahy všetky energie párových interakcií nábojov jedného telesa (prsteň) s nábojmi iného telesa (dipólu). Energia interakcie bodového náboja q s poplatkom Q distribuovaný v kruhu je určený súčtom
,
kde je náboj nekonečne malého fragmentu kruhu, - vzdialenosť od tohto fragmentu k náboju q. Keďže všetci sú rovnakí a rovnakí
Podobne nájdeme interakčnú energiu bodového náboja – q s nabitým prstencom:
Zhrnutie W 1 a W 2 získame pre energiu interakcie prstenca s dipólom:
.
Elektrická energia nabitých vodičov
Príklad 3
Určte prácu vykonanú elektrickými silami, keď sa polomer rovnomerne nabitej gule zníži o faktor 2. Guľový náboj q, jeho počiatočný polomer R.
Riešenie.
Elektrická energia osamelého vodiča je určená vzorcom, kde q– náboj vodiča, j – jeho potenciál. Vzhľadom na to, že potenciál rovnomerne nabitej gule s polomerom R sa rovná , nájdime jeho elektrickú energiu:
Po polovičnom polomere gule sa jej energia rovná
Elektrické sily fungujú
.
Príklad 4.
Dve kovové gule, ktorých polomery sú r a 2 r a príslušné poplatky sú 2 q a - q, ktorý sa nachádza vo vákuu vo veľkej vzdialenosti od seba. Koľkokrát sa zníži elektrická energia systému, ak sú guličky spojené tenkým drôtom?
Riešenie.
Po spojení guľôčok tenkým drôtom sa ich potenciál zhoduje
,
a stabilné náboje loptičiek Q 1 a Q 2 sa získajú ako výsledok toku náboja z jednej gule do druhej. V tomto prípade zostáva celkový náboj guľôčok konštantný:
.
Z týchto rovníc zistíme
Energia guľôčok pred ich spojením drôtom sa rovná
,
a po pripojení
.
Nahradenie hodnôt do posledného výrazu Q 1 a Q 2, získame po jednoduchých transformáciách
.
Príklad 5.
Zlúčené do jednej gule N= 8 rovnakých guľôčok ortuti, z ktorých každá má náboj q. Za predpokladu, že v počiatočnom stave boli ortuťové guľôčky od seba vo veľkej vzdialenosti, určte, koľkokrát sa elektrická energia systému zvýšila.
Riešenie.
Keď sa ortuťové guľôčky zlúčia, ich celkový náboj a objem sa zachovajú:
Kde Q- náboj lopty, R- jeho polomer, r je polomer každej malej ortuťovej guľôčky. Celková elektrická energia N osamelé lopty sa rovná
Elektrická energia výslednej gule
Po algebraických transformáciách dostaneme
= 4.
Príklad 6.
Kovová guľa s rádiusom R= 1 mm a nabite q= 0,1 nC z veľkej vzdialenosti sa pomaly približuje k nenabitému vodiču a zastaví sa, keď sa potenciál gule rovná j = 450 V. Koľko práce treba na to urobiť?
Riešenie.
,
Kde q 1 a q 2 – náboje vodičov, j 1 a j 2 – ich potenciály. Keďže vodič podľa problému nie je nabitý, potom
Kde q 1 a j 1 náboj a potenciál gule. Keď sú loptička a nenabitý vodič vo veľkej vzdialenosti od seba,
a elektrickej energie systému
V konečnom stave systému, keď sa potenciál lopty rovná j, elektrická energia systému je:
Práca vonkajších síl sa rovná prírastku elektrickej energie:
= -0,0225 uJ.
Všimnite si, že elektrické pole v konečnom stave sústavy vytvárajú náboje indukované na vodiči, ako aj náboje nerovnomerne rozložené po povrchu kovovej gule. Je veľmi ťažké vypočítať toto pole pri známej geometrii vodiča a danej polohe kovovej gule. Nepotrebovali sme to urobiť, pretože problém nešpecifikuje geometrickú konfiguráciu systému, ale potenciál lopty v konečnom stave.
Príklad 7.
Systém pozostáva z dvoch sústredných tenkých kovových plášťov s polomermi R 1 a R 2 (a príslušné poplatky q 1 a q 2. Nájdite elektrickú energiu W systémov. Zvážte aj špeciálny prípad, keď .
Riešenie.
Elektrická energia systému dvoch nabitých vodičov je určená vzorcom
.
Na vyriešenie úlohy je potrebné nájsť potenciály vnútornej (j 1) a vonkajšej (j 2) sféry. Nie je to ťažké urobiť (pozri príslušnú časť návodu):
, .
Nahradením týchto výrazov do vzorca pre energiu dostaneme
.
Keď je energia rovnaká
.
Vlastná elektrická energia a interakčná energia
Príklad 8.
Dve vodivé gule, ktorých náboje q a - q, polomery R 1 a R 2 sú umiestnené vo vákuu vo veľkej vzdialenosti od seba. Guľa s väčším polomerom R 2 pozostáva z dvoch hemisfér. Hemisféry sú oddelené, privedené do sféry polomeru R 1 a sú opäť spojené, čím vytvárajú guľový kondenzátor. Určte prácu elektrických síl s týmto dizajnom kondenzátora.
Riešenie.
Elektrická energia dvoch nabitých gúľ vzdialených od seba sa rovná
.
Elektrická energia výsledného guľového kondenzátora:
,
Potenciál vnútornej sféry je potenciálom vonkajšej sféry. teda
Práca elektrických síl s týmto dizajnom kondenzátora:
Všimnite si, že elektrická energia guľového kondenzátora W 2 sa rovná práci vykonanej vonkajšími silami na nabitie kondenzátora. V tomto prípade fungujú elektrické sily. Táto práca sa vykonáva nielen vtedy, keď sa nabité dosky priblížia k sebe, ale aj keď sa na každú z dosiek aplikuje náboj. Preto A EL sa líši od práce uvedenej vyššie A, zdokonalený elektrickými silami až vtedy, keď sa dosky spoja.
Príklad 9.
Bodový poplatok q= 1,5 µC sa nachádza v strede guľového obalu, po povrchu ktorého je náboj rovnomerne rozložený Q= 5 uC. Nájdite prácu vykonanú elektrickými silami pri rozťahovaní plášťa - jeho polomer sa zväčšuje R 1 = 50 mm až R 2 = 100 mm.
Riešenie.
Energia interakcie bodového náboja q s nábojmi umiestnenými na sférickom plášti polomeru R rovná
,
Samoelektrická energia plášťa (energia vzájomného pôsobenia nábojov plášťa) sa rovná:
Práca elektrických síl počas expanzie plášťa:
.
Po transformáciách dostaneme
1,8 J.
Iné riešenie
Predstavme si bodový náboj vo forme rovnomerne nabitej gule s malým polomerom r a nabíjať q. Celková elektrická energia systému sa rovná
,
Potenciál polomeru sféry r,
Potenciál polomeru sféry R. Keď sa vonkajšia guľa roztiahne, elektrické sily fungujú
.
Po substitúciách a transformáciách dostaneme odpoveď.
Príklad 10.
Aká časť elektrickej energie nabitej vodivej gule umiestnenej vo vákuu je obsiahnutá v imaginárnej gule sústrednej s guľou, ktorej polomer je n krát polomer lopty?
Riešenie.
Objemová hustota energie elektrického poľa
definuje elektrickú energiu lokalizovanú v nekonečne malom objeme ( E– modul vektora intenzity elektrického poľa v tomto objeme, e – dielektrická konštanta). Aby sme vypočítali celkovú elektrickú energiu nabitej vodivej gule, mentálne rozdeľme celý priestor na nekonečne tenké sférické vrstvy sústredné s nabitou guľou. Zoberme si jednu z týchto vrstiev polomeru r a hrúbka DR(pozri obr. 5). Jeho objem je
a elektrická energia sústredená vo vrstve
.
Napätie E pole nabitej vodivej gule závisí, ako je známe, od vzdialenosti r do stredu lopty. Vo vnútri gule teda pri výpočte energie stačí uvažovať len tie sférické vrstvy, ktorých polomer r ktorý presahuje polomer gule R.
Keď sila poľa
dielektrická konštanta a preto
,
Kde q– náboj lopty.
Celková elektrická energia nabitej gule je určená integrálom
,
a energia sústredená vo vnútri pomyselnej sféry polomeru nR, je rovnaký
.
teda
 |  |  |
| Obr.5 | Obr.6 | Obr.7 |
Príklad 11.
Určte elektrickú energiu systému pozostávajúceho z nabitej vodivej gule a s ňou sústrednej nenabitej vodivej sférickej vrstvy (obr. 6). Vnútorný a vonkajší polomer vrstvy a A b, polomer gule, náboj q, systém je vo vákuu.
Jedným z najzaujímavejších a najužitočnejších objavov v mechanike je zákon zachovania energie. Keď poznáme vzorce pre kinetickú a potenciálnu energiu mechanického systému, sme schopní zistiť spojenie medzi stavmi systému v dvoch rôznych časových momentoch bez toho, aby sme sa ponorili do detailov toho, čo sa medzi týmito momentmi deje. Teraz chceme určiť energiu elektrostatických systémov. V elektrine sa šetrenie energie ukáže rovnako užitočné pri objavovaní mnohých zaujímavých faktov.
Zákon, podľa ktorého sa energia mení počas elektrostatickej interakcie, je veľmi jednoduchý; v skutočnosti sme to už rozoberali. Nech sú poplatky q 1 A q2, oddelené medzerou r 12. Tento systém má určitú energiu, pretože spojenie nábojov si vyžadovalo určitú prácu. Vypočítali sme vykonanú prácu, keď sa dva náboje priblížili k sebe z veľkej vzdialenosti; je to rovné
Z princípu superpozície vieme, že ak je nábojov veľa, tak celková sila pôsobiaca na ktorýkoľvek z nábojov sa rovná súčtu síl pôsobiacich na všetky ostatné náboje. Z toho vyplýva, že celková energia sústavy viacerých nábojov je súčtom členov vyjadrujúcich interakciu každej dvojice nábojov samostatne. Ak q¡ A q j- niektoré dva náboje a vzdialenosť medzi nimi r ij(obr. 8.1), potom sa energia tohto konkrétneho páru rovná
Celková elektrostatická energia U
je súčet energií všetkých možných párov nábojov:
Ak je rozdelenie dané hustotou náboja ρ, potom treba súčet v (8.3) samozrejme nahradiť integrálom.
O energii sa tu budeme baviť z dvoch pohľadov. Najprv - aplikácie koncepcie energie k elektrostatickým problémom; druhý - rôzne spôsoby odhady energetické hodnoty. Niekedy je v niektorých prípadoch jednoduchšie vypočítať vykonanú prácu, ako odhadnúť hodnotu súčtu v (8.3) alebo hodnotu zodpovedajúceho integrálu. Pre vzorku vypočítame energiu potrebnú na zostavenie rovnomerne nabitej gule z nábojov. Energia tu nie je nič iné ako práca, ktorá sa vynakladá na zbieranie nábojov z nekonečna.
Predstavte si, že staviame guľu postupným vrstvením guľových vrstiev nekonečne malej hrúbky na seba. V každej fáze procesu odoberáme malé množstvo elektriny a umiestňujeme ju v tenkej vrstve od r do r +DR.
Takto pokračujeme, kým nedosiahneme daný polomer A(obr. 8.2). Ak Q r
—
je náboj na guli v momente, keď sa gulička dostane do polomeru r, potom práca potrebná na dodanie náboja do loptičky dQ,
rovná
Ak je hustota náboja vo vnútri gule ρ, potom náboj Q r
rovná sa
a poplatok dQ rovná sa
Nabíjačka je fyzikálna veličina charakterizujúca schopnosť častíc alebo telies vstupovať do elektromagnetických interakcií. Elektrický náboj je zvyčajne reprezentovaný písmenami q alebo Q. V sústave SI sa elektrický náboj meria v Coulombs (C). Bezplatný poplatok 1 C je obrovský poplatok, ktorý sa v prírode prakticky nevyskytuje. Typicky sa budete musieť vysporiadať s mikrocoulombmi (1 µC = 10 -6 C), nanokulombmi (1 nC = 10 -9 C) a pikokulombmi (1 pC = 10 -12 C). Elektrický náboj má nasledujúce vlastnosti:
Tento faktor sa nazýva potenciál elektrického bodu. To znamená: v elektromagnetizme je elektrický potenciál alebo elektrostatický potenciál pole ekvivalentné potenciálnej energii spojenej so statickým elektrickým poľom delené elektrickým nábojom testovanej častice. Rovnako ako dobrý potenciál, iba fyzické rozdiely v potenciáloch majú fyzický význam. Elektrostatika je časť štúdia elektriny, ktorá študuje elektrické náboje bez pohybu, teda v pokoji.
Elektrostatika a elektrodynamika
Elektrostatické tienenie robí elektrické pole nulovým. Je to spôsobené distribúciou prebytočných elektrických nábojov vo vodiči. Záťaže rovnakého signálu majú tendenciu miznúť, kým nedosiahnu odpočinok. Zatiaľ čo elektrostatika študuje elektrické náboje bez pohybu, elektrodynamika študuje náboje v pohybe.
1. Elektrický náboj je druh hmoty.
2. Elektrický náboj nezávisí od pohybu častice a jej rýchlosti.
3. Náboje je možné prenášať (napríklad priamym kontaktom) z jedného tela na druhé. Na rozdiel od telesnej hmotnosti nie je elektrický náboj integrálnou charakteristikou daného telesa. To isté teleso za rôznych podmienok môže mať rôzny náboj.
Elektrostatika a elektrodynamika sú teda odbory fyziky, ktoré sa zaoberajú rôznymi aspektmi elektriny. Okrem týchto polí existuje aj elektromagnetizmus, ktorý skúma schopnosť elektriny priťahovať a potláčať póly.
Po dosiahnutí rovnováhy sa guľa A dostane do kontaktu s ďalšou identickou guľou C, ktorá má elektrický náboj 3e. Aká bude hustota elektrického náboja v tejto oblasti? Hydrofóbna povaha polyuretánu je spôsobená silou elektrostatického odpudzovania medzi molekulami materiálu a molekulami vody, čo je fyzikálny jav, ktorý sa vyskytuje medzi telesami s elektrickým nábojom rovnakého signálu. Je správne povedať, že sila je elektrostatické odpudzovanie.
4. Existujú dva typy elektrických nábojov, ktoré sa bežne nazývajú pozitívne A negatívne.
5. Všetky poplatky sa navzájom ovplyvňujú. V tomto prípade ako náboje odpudzujú, na rozdiel od nábojov priťahujú. Sily interakcie medzi nábojmi sú centrálne, to znamená, že ležia na priamke spájajúcej stredy nábojov.
To je dôvod, prečo sa vrátiť k vyššie uvedeným príkladom a položiť si otázku, prečo sa pružina zastaví dostatočne rýchlo na to, aby oscilovala, ako hojdačka, ak nie je udržiavaná v pohybe. Dochádza totiž k treniu a vzniká teplo bez toho, aby sme si to uvedomovali. Energia je veľmi konštantná, ale časť sa rozptýli ako teplo.
Zásobník materiálovej, elektrickej a jadrovej energie
Na rozdiel od hmotnosti však môže byť náboj buď pozitívny alebo negatívny: sila je potom príťažlivá, ak majú náboje opačné znamienka, ale odpudivá, ak majú rovnaké znamienko. V elektrickom článku alebo inom generátore sú kladné elektrické náboje distribuované na kladnom póle a záporné elektrické náboje sú distribuované na opačnom póle.
6. Existuje minimálny možný (modulo) elektrický náboj, tzv elementárny náboj. Jeho význam:
e= 1,602177·10 –19 °C ≈ 1,6·10 –19 °C.
Elektrický náboj akéhokoľvek telesa je vždy násobkom elementárneho náboja:
Kde: N– celé číslo. Upozorňujeme, že nie je možné, aby existoval poplatok rovnajúci sa 0,5 e; 1,7e; 22,7e a tak ďalej. Fyzikálne veličiny, ktoré môžu nadobudnúť iba diskrétne (nie spojité) série hodnôt, sa nazývajú kvantované. Elementárny náboj e je kvantum (najmenšia časť) elektrického náboja.
Okrem svojich prejavov v elektrine je táto „coulombovská“ interakcia zodpovedná za stabilitu hmoty. Jadrá kladného elektrického náboja priťahujú záporné elektróny, čo spôsobuje, že vytvárajú atómy, ktoré sa navzájom priťahujú. Navyše, keď dôjde k chemickej reakcii, výsledkom je reorganizácia jadier a elektrónov a modifikácia Coulombovej energie. Toto sa nazýva chemická energia. Palivo ako uhlie, benzín alebo vodík je zásobárňou chemickej energie, no táto energia nie je nič iné ako Coulombova energia.
V izolovanom systéme zostáva algebraický súčet nábojov všetkých telies konštantný:
Zákon zachovania elektrického náboja hovorí, že v uzavretej sústave telies nemožno pozorovať procesy vzniku alebo zániku nábojov len jedného znamienka. Zo zákona zachovania náboja tiež vyplýva, že ak dve telesá rovnakej veľkosti a tvaru majú náboj q 1 a q 2 (vôbec nezáleží na tom, aké znamenie sú náboje), priveďte do kontaktu a potom znova oddeľte, potom sa náboj každého z telies vyrovná:
Elastická energia pružiny, o ktorej sme hovorili vyššie, je tiež dôsledkom Coulombovej interakcie. Jadrové jadrá majú tiež jadrové interakcie, ktoré sú navzájom veľmi blízko, a preto sú dôležité iba v rámci týchto jadier. Viažu nukleóny, t.j. protóny a neutróny. Spojením svetelných jadier sa teda môže uvoľniť obrovská energia. Obrovská energia sa získava aj štiepením ťažkých jadier, ako je urán, ktorý sa vyrába v A bombe alebo v jadrovom reaktore štiepením jadra.
elektrické pole
w = 1 2 ε 0 E2 + 1 2 E P. (11)
IN Vo vzorci (11) prvý člen vyjadruje hustotu energie elektrického poľa vo vákuu a druhý člen vyjadruje energiu vynaloženú na polarizáciu jednotkového objemu dielektrika.
IN vo všeobecnom prípade nerovnomerného elektrického poľa jeho energia v určitom objeme V možno vypočítať pomocou vzorca
4. Ponderomotorické sily. Aplikácia zákona zachovania energie na výpočet podromotorických síl.
Každé nabité teleso umiestnené v elektrickom poli je vystavené mechanickej sile. Ponderomotorické sily pôsobiace z elektrického poľa na makroskopické nabité telesá.
Určme silu vzájomnej príťažlivosti medzi opačne nabitými doskami plochého kondenzátora (ponderomotorická sila) dvoma spôsobmi.
Na jednej strane môže byť táto sila definovaná ako sila F 2 pôsobiaca na druhú dosku zo strany prvej
F 2 = Q 2E 1, (14)
kde Q2 je množstvo náboja na druhej doske, E1 je intenzita poľa prvej dosky. Množstvo náboja Q 2 druhej dosky je určené vzorcom
Q2 = σ2S, (15)
kde σ 2 je hustota povrchového náboja na druhej doske a intenzita poľa E 1 vytvorená prvou doskou sa vypočíta podľa vzorca
E1 = σ1, (16)
kde σ 1 je hustota povrchového náboja na prvej doske. Nahraďte vzorce (16) a (15) do vzorca (14)
Ak vezmeme do úvahy, že σ = D = ε 0 ε E, dostaneme vzorec pre silu pôsobiacu na jednu dosku od druhej.
Pre silu pôsobiacu na jednotku plochy dosky bude vzorec nasledujúci
F = e0eE2. (18)
Teraz získame vzorec pre ponderomotorickú silu pomocou zákona zachovania energie. Ak sa teleso pohybuje v elektrickom poli, potom ide o podromotorické sily
pole bude vykonaná práca A Podľa zákona zachovania energie bude táto práca vykonaná vďaka energii poľa, tzn
A + W = 0 alebo A = W. (19)
Práca vykonaná na zmene vzdialenosti medzi doskami nabitého kondenzátora o hodnotu dx je určená vzorcom
kde F je sila interakcie medzi platňami (ponderomotorická sila).
Energia nabitého kondenzátora je určená vzorcom (9). Keď sa jedna z dosiek posunie o vzdialenosť dx, energia kondenzátora sa zmení o hodnotu W
Ako vidíte, vzorce (18) a (22) sú rovnaké. Súčasne použitie zákona zachovania energie na výpočet podromotorických síl výrazne zjednodušuje výpočty.
Otázky na autotest:
1. Odvoďte vzorec pre energiu osamelého nabitého vodiča a sústavy vodičov.
2. Čo je nosičom elektrickej energie? Čo znamená volumetrický
interakcia medzi doskami nabiteho kondenzatora?
Nabitý kondenzátor má energiu. Najjednoduchší spôsob, ako získať vyjadrenie pre túto energiu, je zvážiť plochý kondenzátor.
Energia paralelného doskového kondenzátora. Predpokladajme, že dosky kondenzátora nesúce náboje rovnakého a opačného znamienka sú najprv umiestnené vo vzdialenosti a potom dáme jednej z dosiek príležitosť pohybovať sa v smere druhej dosky, kým nie sú úplne zarovnané. keď sa náboje dosiek kompenzujú a kondenzátor skutočne zmizne. Súčasne zmizne aj energia kondenzátora, preto sa práca elektrickej sily pôsobiacej na dosku, ktorá sa vykonáva pri jej pohybe, presne rovná počiatočnej rezerve energie kondenzátora. Vypočítajme túto prácu.
Sila pôsobiaca na platňu sa rovná súčinu jej náboja a intenzity rovnomerného elektrického poľa vytvoreného druhou platňou. Táto intenzita, ako sme videli v § 7, sa rovná polovici celkovej intenzity E elektrického poľa vo vnútri kondenzátora, vytvoreného nábojmi oboch dosiek. Preto je potrebná práca tam, kde je napätie medzi
taniere. Výraz pre energiu kondenzátora z hľadiska jeho náboja a napätia má teda tvar
Keďže náboj kondenzátora a napätie sú spojené vzťahom, vzorec (1) možno prepísať do ekvivalentnej formy tak, že energia je vyjadrená buď iba prostredníctvom náboja, alebo iba prostredníctvom napätia
Energia kondenzátora. Tento vzorec platí pre kondenzátor akéhokoľvek tvaru. To je možné overiť zvážením práce, ktorú je potrebné vykonať, aby sa nabil kondenzátor, pričom sa náboj prenáša po malých častiach z jednej dosky na druhú. Pri výpočte tejto práce je potrebné vziať do úvahy, že prvá časť náboja sa prenáša cez nulový potenciálny rozdiel, posledná - cez celkový potenciálny rozdiel a v každom okamihu je potenciálny rozdiel úmerný už prenesenému náboju.
Vzorce (1) alebo (2) pre energiu nabitého kondenzátora je samozrejme možné získať ako špeciálny prípad všeobecného vzorca (12) § 4, platného pre energiu sústavy ľubovoľných nabitých telies:
Energiu nabitého kondenzátora možno interpretovať nielen ako potenciálnu energiu interakcie nábojov, ale aj ako energiu elektrického poľa vytvoreného týmito nábojmi, obsiahnutého v priestore medzi doskami kondenzátora. Pre jednoduchosť sa opäť obrátime na plochý kondenzátor, kde je elektrické pole rovnomerné. Nahradením výrazu za energiu získame
kde je objem medzi doskami kondenzátora vyplneným elektrickým poľom.
Hustota energie elektrického poľa. Energia nabitého kondenzátora je úmerná objemu, ktorý zaberá elektrické pole. Je zrejmé, že faktor pred V vo vzorci (4) má význam energie obsiahnutej v jednotke objemu, t. j. objemovej hustoty energie elektrického poľa:
V SI má tento vzorec tvar
V sústave jednotiek SGSE
Výrazy pre objemovú hustotu energie platia pre akúkoľvek konfiguráciu elektrického poľa.
Energia nabitej lopty. Zoberme si napríklad energiu osamelej gule s polomerom, po povrchu ktorej je náboj rovnomerne rozložený. Takýto systém možno považovať za obmedzujúci prípad guľového kondenzátora, ktorého polomer vonkajšej dosky má tendenciu k nekonečnu a kapacita nadobúda hodnotu rovnajúcu sa polomeru gule (v systéme jednotiek SGSE). Aplikovaním vzorca pre energiu, ktorú získame
Ak túto energiu považujeme za energiu poľa vytvoreného loptou, potom môžeme predpokladať, že celá je lokalizovaná v priestore obklopujúcom loptičku a nie v ňom, pretože intenzita poľa E je nulová. Objemová hmotnosť má najväčšiu hodnotu pri povrchu gule a so vzdialenosťou od nej veľmi rýchlo klesá.
Vlastná energia bodového náboja. Elektrostatickú energiu teda možno považovať buď za energiu interakcie nábojov, alebo za energiu poľa vytvoreného týmito nábojmi.
Ak však vezmeme do úvahy energiu dvoch opačných bodových nábojov, dostaneme sa k rozporu. Podľa vzorca (12) § 4 je táto energia záporná: a ak sa považuje za energiu poľa týchto nábojov, energia sa ukáže ako pozitívna, pretože hustota energie poľa, úmerná, nemá zápornú hodnotu. hodnoty kdekoľvek. O čo tu ide? Vysvetľuje to skutočnosť, že vo vzorci (12) sa pre energiu bodových nábojov berie do úvahy iba ich interakcia, ale interakcia jednotlivých prvkov každého takéhoto náboja sa neberie do úvahy. V skutočnosti, ak máme do činenia iba s jedným jednobodovým nábojom, potom energia vypočítaná podľa vzorca (12) je nulová, zatiaľ čo energia elektrického poľa tohto náboja má kladnú (pre skutočný bodový náboj nekonečnú) hodnotu rovnajúcu sa takzvaný vnútorný energetický náboj
Aby sme si to overili, obráťme sa na vzorec (8) pre energiu nabitej gule. Ak ho nasmerujeme k nule, dospejeme k bodovému náboju. Keď hustota energie klesá, rastie tak rýchlo, že, ako je možné vidieť z (8), celková energia poľa je nekonečne veľká. V klasickej elektrodynamike je vlastná energia bodového náboja nekonečná.
Vlastnú energiu ľubovoľného náboja možno považovať za energiu interakcie jeho častí. Táto energia závisí samozrejme od veľkosti a tvaru náboja. Časť by sa uvoľnila pri „výbuchu“ a rozptyle „úlomkov“ nálože pod vplyvom Coulombových odpudivých síl, premenila by sa na kinetickú energiu „úlomkov“, druhá časť by zostala vo forme vlastnej energie týchto „fragmentov“.
Uvažujme teraz celkovú, t. j. vlastnú a vzájomnú energiu dvoch nábojov, nech každý z týchto nábojov samostatne vytvorí pole, takže výsledné pole Objemová hustota energie poľa sa rozpadne na tri členy podľa výrazu.
Prvé dva členy na pravej strane zodpovedajú objemovej hustote vlastných energií nábojov a tretí člen zodpovedá energii vzájomného pôsobenia nábojov. Práve táto časť celkovej energie systému je daná vzorcom (12) § 4. Zo zjavnej nerovnosti vyplýva, že kladná vlastná energia nábojov je teda vždy väčšia alebo v extrémnych prípadoch rovná ich vzájomná energia. Hoci vzájomná energia môže nadobudnúť kladné aj záporné hodnoty, úmerná celková energia je vždy kladná.
Pre všetky možné pohyby nábojov, ktoré nemenia svoj tvar a veľkosť, zostáva vlastná energia nábojov konštantná. Preto sa pri takýchto pohyboch zmena celkovej energie sústavy nábojov rovná zmene ich vzájomnej energie. Keďže pri všetkých fyzikálnych javoch je podstatná zmena energie systému, konštantná časť – vlastná energia nábojov – môže byť vyradená. V tomto zmysle by sa malo chápať tvrdenie o ekvivalencii energie interakcie medzi nábojmi a energiou poľa, ktoré vytvárajú. Môžeme teda porovnať systém nábojov buď s celkovou energiou - energiou poľa, alebo interakčnou energiou a všeobecne povedané, dostaneme rôzne hodnoty. Ale vzhľadom na prechod systému z jedného stavu do druhého dostaneme vždy rovnakú hodnotu pre zmenu energie.
Všimnime si, že pri použití vzorca (12) § 4 pre sústavu bodových nábojov a vodičov dostaneme, ako vidno
zo samotného odvodenia vzorca, vlastnej energie vodičov a vzájomnej potenciálnej energie všetkých nábojov zahrnutých v systéme, t.j. celkovej energie poľa mínus konštantná vlastná energia bodových nábojov.
Vlastná energia vodiča. Vlastná energia vodičov na rozdiel od vlastnej energie bodových nábojov nie je konštantná. Môže sa zmeniť, keď sa zmení konfigurácia systému v dôsledku pohybu nábojov vo vodičoch. Preto túto energiu nemožno pri výpočte zmeny energie systému zahodiť.
V prípade, že systém pozostáva len z vodičov a neexistujú žiadne bodové náboje, vzorec (12) §4 udáva celkovú energiu systému, t. j. súčet vlastných energií všetkých vodičov a energie ich vzájomného pôsobenia. Dostaneme rovnakú hodnotu bez ohľadu na to, či uvažujeme energiu poľa alebo energiu sústavy nábojov. Príkladom takéhoto systému je kondenzátor, kde, ako sme videli, oba prístupy dávajú rovnaký výsledok
Je zrejmé, že v prítomnosti bodových nábojov a vodičov nemá zmysel posudzovať oddelene vlastnú energiu vodičov a vzájomnú potenciálnu energiu všetkých nábojov, pretože zmena súčtu týchto energií určuje práca vonkajších síl. Z úvahy možno vylúčiť len stálu vlastnú energiu bodových poplatkov.
Transformácie energie v kondenzátoroch. Aby sme analyzovali transformácie energie, ktoré sa môžu vyskytnúť v elektrickom poli, uvažujme plochý kondenzátor so vzduchovou medzerou pripojený k zdroju s konštantným napätím. Dosky kondenzátora posunieme zo vzdialenosti na vzdialenosť v dvoch prípadoch: keď sme predtým odpojili kondenzátor od zdroja energie a bez odpojenia kondenzátora od zdroja.
V prvom prípade zostáva náboj na doskách kondenzátora po celý čas nezmenený: hoci kapacita C a napätie sa menia, keď sa dosky pohybujú. Keď poznáme napätie na kondenzátore v počiatočnom okamihu, nájdeme hodnotu tohto náboja (v jednotkách SI):
Pretože opačne nabité dosky kondenzátora sa navzájom priťahujú, je potrebné vykonať pozitívnu mechanickú prácu na ich oddialenie. Ak pri pohybe od seba zostáva vzdialenosť medzi doskami vždy oveľa menšia ako ich lineárne rozmery, potom sila príťažlivosti dosiek nezávisí od vzdialenosti medzi nimi.
Aby sa platňa pohybovala rovnomerne, vonkajšia sila musí vyrovnávať silu príťažlivosti, a preto sa mechanická práca vykonaná pri posúvaní platne na vzdialenosť rovná
keďže kde je konštantná intenzita poľa vytvorená nábojmi oboch dosiek. Nahradením náboja z (10) do (11) nájdeme
Druhý prípad sa líši od uvažovaného v tom, že keď sa dosky pohybujú, nie je náboj kondenzátora, ktorý zostáva nezmenený, ale napätie na ňom: Keď sa vzdialenosť medzi doskami zväčšuje, intenzita poľa klesá, a preto náboj na tanieroch tiež klesá. Preto sila príťažlivosti dosiek nezostáva konštantná, ako v prvom prípade, ale klesá, a ako je ľahké vidieť, je nepriamo úmerná štvorcu vzdialenosti. Prácu vykonanú touto premenlivou silou možno vypočítať pomocou zákona zachovania a transformácie energie.
Najprv to aplikujme na jednoduchší prvý prípad. K zmene energie kondenzátora dochádza iba v dôsledku mechanickej práce vykonanej vonkajšími silami: Pretože náboj kondenzátora zostáva nezmenený, je vhodné použiť vzorec pre energiu kondenzátora.
čo pri dosadení výrazu za kapacitu a náboj (10) vedie ku konečnému vzorcu (12). Všimnime si, že tento výsledok možno získať aj tak, že energiu kondenzátora budeme považovať za energiu elektrického poľa medzi jeho doskami. Keďže sila poľa, a teda aj hustota energie, zostáva nezmenená a objem poľa sa zvyšuje, prírastok energie sa rovná súčinu hustoty energie a prírastku objemu.
V druhom prípade sa energia kondenzátora mení v dôsledku mechanickej práce aj v dôsledku práce vykonávanej zdrojom energie:
Po nezávislom určení zmeny energie kondenzátora a práce zdroja je možné nájsť mechanickú prácu pomocou zákona zachovania energie (13).
Pretože v tomto prípade zostáva napätie nezmenené, na výpočet energie kondenzátora je vhodné použiť vzorec Na zmenu energie získame
Keď sa náboj na doskách kondenzátora zmení o množstvo, zdroj energie funguje, náboj na kondenzátore je určený vzťahom Potom
a použitím výrazu (13) dostaneme
Všimnite si, že z (15) a (14) je jasné, že
tj práca zdroja sa rovná dvojnásobku zmeny energie kondenzátora.
Je zaujímavé poznamenať, že práca zdroja aj zmena energie kondenzátora sa ukázali ako negatívne. Je to celkom pochopiteľné: vykonaná mechanická práca je pozitívna a mala by viesť k zvýšeniu energie kondenzátora (ako sa to deje v prvom prípade). Ale energia kondenzátora klesá, a preto musí zdroj „prebrať“ energiu rovnajúcu sa poklesu energie kondenzátora a mechanickej práci vonkajších síl. Ak sú procesy v zdroji reverzibilné (batéria), potom sa bude nabíjať, inak sa zdroj jednoducho zahreje.
Aby ste lepšie pochopili podstatu javov, zvážte opačný prípad: dosky kondenzátora pripojené k zdroju sa približujú zo vzdialenosti na vzdialenosť, pretože dosky sú priťahované, práca vonkajších síl je negatívna, pretože pre rovnomerný pohyb dosiek vonkajšia sila musí smerovať v smere opačnom k pohybu. Energia kondenzátora sa zvyšuje, keď sa dosky približujú k sebe. Mechanická práca vonkajších síl je teda negatívna a energia kondenzátora sa zvýšila, preto zdroj vykonal pozitívnu prácu. Polovica tejto práce sa rovná nárastu energie kondenzátora, druhá polovica sa prenáša na vonkajšie telesá vo forme mechanickej práce, keď sa dosky približujú k sebe. Všetky vyššie uvedené vzorce sú samozrejme použiteľné pre akýkoľvek smer pohybu dosiek.
Vo všetkých našich úvahách sme zanedbali odpor vodičov spájajúcich kondenzátor so zdrojom. Ak vezmeme do úvahy teplo uvoľnené v drôtoch počas pohybu nábojov, rovnica
energetická bilancia nadobúda formu
Zmenu energie kondenzátora a prácu zdroja samozrejme vyjadrujú predchádzajúce vzorce (14) a (15). Teplo sa uvoľňuje vždy bez ohľadu na to, či sa dosky približujú alebo vzďaľujú, takže hodnotu možno vypočítať, ak je známa rýchlosť pohybu dosiek. Čím vyššia je rýchlosť pohybu, tým väčšie je generované teplo. S nekonečne pomalým pohybom platní
Zmena energie a práca zdroja. Vyššie sme si všimli, že práca zdroja energie, keď sa dosky pohybujú od seba, sa rovná dvojnásobku zmeny energie kondenzátora. Táto skutočnosť je univerzálna: ak akýmkoľvek spôsobom zmeníte energiu kondenzátora pripojeného k zdroju energie, potom sa práca vykonaná zdrojom energie rovná dvojnásobku zmeny energie kondenzátora:
Ako si tým môžeš byť istý? Pretože kondenzátor zostáva neustále pripojený k zdroju energie, napätie na kondenzátore je rovnaké na začiatku aj na konci procesu (hoci napätie na kondenzátore môže byť počas procesu menšie). Ak sa náboj kondenzátora počas procesu zmení o množstvo, jeho energia sa zmení o množstvo
V tomto prípade zdroj energie vykonal svoju prácu
Aby sme sa vyhli podozreniu, že polovica energie „zmizla bez stopy“, napíšme rovnicu energetickej bilancie:
kde je mechanická práca vykonaná pri tomto procese silami pôsobiacimi na vonkajšie telesá, uvoľnené teplo. Je zrejmé, že sa rovná zostávajúcej polovici práce zdroja. Existujú procesy, v ktorých buď alebo But, ako je zrejmé z (16) a (17), je zmena energie kondenzátora pripojeného k zdroju nevyhnutne sprevádzaná buď výkonom mechanickej práce, alebo uvoľňovaním tepla.
Získajte vzorec pre energiu nabitého kondenzátora zvážením práce vykonanej pri jeho nabíjaní prenosom náboja z jednej dosky na druhú.
Vysvetlite kvalitatívne, prečo je objemová hustota energie elektrického poľa úmerná druhej mocnine jeho intenzity.
Aká je vlastná energia bodového náboja? Ako elektrostatika prekonáva ťažkosti spojené s nekonečnou hodnotou vlastnej energie bodových nábojov?
Vysvetlite, prečo prvé dva členy na pravej strane vzorca (9) zodpovedajú objemovej hustote vlastných energií bodových nábojov a tretí člen zodpovedá energii vzájomného pôsobenia nábojov.
Ako súvisia zmeny energie kondenzátora počas akéhokoľvek procesu s prevádzkou zdroja energie, ku ktorému je tento kondenzátor pripojený počas celého procesu?
Za akých podmienok zmena energie kondenzátora pripojeného k zdroju energie neprodukuje teplo?
Kondenzátor s dielektrikom. Uvažujme teraz transformácie energie v kondenzátoroch v prítomnosti dielektrika medzi doskami, pričom pre jednoduchosť predpokladáme, že jeho dielektrická konštanta je konštantná. Kapacita kondenzátora s dielektrikom je niekoľkonásobne väčšia ako kapacita C toho istého kondenzátora bez dielektrika. Kondenzátor s nábojom odpojeným od zdroja energie má energiu
Ryža. 52. Vtiahnutie dielektrickej platne do plochého kondenzátora
Keď je priestor medzi doskami vyplnený dielektrikom s permeabilitou, energia kondenzátora sa zníži o faktor: Odtiaľ môžeme okamžite usúdiť, že dielektrikum je vtiahnuté do elektrického poľa.
Sťahovacia sila pri konštantnom nabití kondenzátora klesá, keď dielektrikum vypĺňa priestor medzi doskami. Ak sa na doskách kondenzátora udržiava konštantné napätie, potom ťah sily v dielektriku nezávisí od dĺžky vtiahnutej časti.
Ak chcete zistiť silu pôsobiacu na dielektrikum z elektrického poľa, zvážte nakreslenie pevného dielektrika do vodorovne umiestneného kondenzátora pripojeného k zdroju konštantného napätia (obr. 52). Nech je pri pôsobení pre nás zaujímavej sťahovacej sily a nejakej vonkajšej sily kúsok dielektrika, aby sme našli výšku stúpania kvapalného dielektrika, vypočítanú zaťahovaciu silu prirovnáme k hmotnosti stúpajúcej kvapaliny a získať
Na nájdenie tepla uvoľneného pri stúpaní kvapaliny je najjednoduchšie vychádzať zo zákona zachovania energie. Pretože zvýšený stĺpec kvapaliny je v pokoji, práca vykonaná zdrojom sa rovná súčtu zmien energií kondenzátora a potenciálnej energie dielektrika v gravitačnom poli, ako aj uvoľneného tepla.
Ak to vezmeme do úvahy a použijeme vzťah (21), zistíme
Práca napájacieho zdroja bola teda rozdelená na polovicu: jedna polovica išla na zvýšenie elektrostatickej energie kondenzátora; druhá polovica bola rovnomerne rozdelená medzi nárast potenciálnej energie dielektrika v gravitačnom poli a uvoľnené teplo. Ako sa toto teplo uvoľnilo? Keď sú dosky kondenzátora ponorené do dielektrika, kvapalina začne stúpať, získava kinetickú energiu a zotrvačnosťou prechádza do rovnovážnej polohy. Vznikajú oscilácie, ktoré viskozitou kvapaliny postupne odumierajú a kinetická energia sa mení na teplo. Ak je viskozita dostatočne vysoká, potom nemusia byť žiadne oscilácie - všetko teplo sa uvoľní, keď kvapalina stúpa do rovnovážnej polohy.
Formulujte zákon zachovania energie pre proces, pri ktorom sa spolu so zmenou elektrostatickej energie mení aj iná energia a uvoľňuje sa teplo.
Vysvetlite fyzikálny mechanizmus vzniku síl, ktoré vťahujú dielektrikum do priestoru medzi platňami nabitého kondenzátora.
7. Energia elektrického poľa
(Príklady riešenia problémov)
Energia interakcie náboja
Príklad 1
Určte elektrickú energiu interakcie bodových nábojov umiestnených vo vrcholoch štvorca so stranou a(pozri obr. 2).
Riešenie.
Na obr. 3 sú všetky párové interakcie nábojov konvenčne znázornené obojsmernými šípkami. Ak vezmeme do úvahy energie všetkých týchto interakcií, získame:
|
|
|
|
Príklad 2
Určte elektrickú energiu interakcie nabitého prstenca s dipólom umiestneným na jeho osi, ako je znázornené na obr. Známe vzdialenosti a, l, poplatky Q, q a polomer prstenca R.
Riešenie.
Pri riešení problému treba brať do úvahy všetky energie párových interakcií nábojov jedného telesa (prsteň) s nábojmi iného telesa (dipólu). Energia interakcie bodového náboja q s poplatkom Q distribuovaný v kruhu je určený súčtom
,
Kde 
- náboj nekonečne malého fragmentu kruhu,
-
vzdialenosť od tohto fragmentu k náboju q. Pretože všetko 
rovnaký a rovný 
, To
Podobne nájdeme interakčnú energiu bodového náboja – q s nabitým prstencom:
Zhrnutie W 1 a W 2 získame pre energiu interakcie prstenca s dipólom:
.
Elektrická energia nabitých vodičov
Príklad 3
Určte prácu vykonanú elektrickými silami, keď sa polomer rovnomerne nabitej gule zníži o faktor 2. Guľový náboj q, jeho počiatočný polomer R.
Riešenie.
Elektrická energia osamelého vodiča je určená vzorcom 
, Kde q– náboj vodiča, – jeho potenciál. Vzhľadom na to, že potenciál rovnomerne nabitej gule s polomerom R rovná sa 
, nájdime jeho elektrickú energiu:
.
Po polovičnom polomere gule sa jej energia rovná
.
Elektrické sily fungujú
.
Príklad 4.
Dve kovové gule, ktorých polomery sú r a 2 r a príslušné poplatky sú 2 q a - q, ktorý sa nachádza vo vákuu vo veľkej vzdialenosti od seba. Koľkokrát sa zníži elektrická energia systému, ak sú guličky spojené tenkým drôtom?
Riešenie.
Po spojení guľôčok tenkým drôtom sa ich potenciál zhoduje
,
a stabilné náboje loptičiek Q 1 a Q 2 sa získajú ako výsledok toku náboja z jednej gule do druhej. V tomto prípade zostáva celkový náboj guľôčok konštantný:
.
Z týchto rovníc zistíme
,
.
Energia guľôčok pred ich spojením drôtom sa rovná
,
a po pripojení
.
Nahradenie hodnôt do posledného výrazu Q 1 a Q 2, získame po jednoduchých transformáciách
.
Príklad 5.
Zlúčené do jednej gule N= 8 rovnakých guľôčok ortuti, z ktorých každá má náboj q. Za predpokladu, že v počiatočnom stave boli ortuťové guľôčky od seba vo veľkej vzdialenosti, určte, koľkokrát sa elektrická energia systému zvýšila.
Riešenie.
Keď sa ortuťové guľôčky zlúčia, ich celkový náboj a objem sa zachovajú:
,
Kde Q- náboj lopty, R- jeho polomer, r je polomer každej malej ortuťovej guľôčky. Celková elektrická energia N osamelé lopty sa rovná
.
Elektrická energia výslednej gule
.
Po algebraických transformáciách dostaneme
= 4.
Príklad 6.
Kovová guľa s rádiusom R= 1 mm a nabite q= 0,1 nC z veľkej vzdialenosti sa pomaly približujú k nenabitému vodiču a zastavia sa, keď sa potenciál gule rovná = 450 V. Akú prácu treba na to urobiť?
Riešenie.
,
Kde q 1 a q 2 – náboje vodičov, 1 a 2 – ich potenciály. Keďže vodič podľa problému nie je nabitý, potom
,
Kde q 1 a 1 náboj a potenciál lopty. Keď sú loptička a nenabitý vodič vo veľkej vzdialenosti od seba,
,
a elektrickej energie systému
.
V konečnom stave systému, keď sa potenciál lopty rovná , elektrická energia systému je:
.
Práca vonkajších síl sa rovná prírastku elektrickej energie:
= -0,0225 uJ.
Všimnite si, že elektrické pole v konečnom stave sústavy vytvárajú náboje indukované na vodiči, ako aj náboje nerovnomerne rozložené po povrchu kovovej gule. Je veľmi ťažké vypočítať toto pole pri známej geometrii vodiča a danej polohe kovovej gule. Nepotrebovali sme to urobiť, pretože problém nešpecifikuje geometrickú konfiguráciu systému, ale potenciál lopty v konečnom stave.
Príklad 7 .
Systém pozostáva z dvoch sústredných tenkých kovových plášťov s polomermi R 1 a R 2
(
a zodpovedajúce poplatky q 1 a q 2. Nájdite elektrickú energiu W systémov. Zvážte aj špeciálny prípad, kedy 
.
Riešenie.
Elektrická energia systému dvoch nabitých vodičov je určená vzorcom
.
Na vyriešenie problému je potrebné nájsť potenciály vnútornej ( 1) a vonkajšej ( 2) sféry. Nie je to ťažké urobiť (pozri príslušnú časť návodu):
,
.
Nahradením týchto výrazov do vzorca pre energiu dostaneme
.
O 
energia je rovnaká
.
Vlastná elektrická energia a interakčná energia
Príklad 8.
Dve vodivé gule, ktorých náboje q a - q, polomery R 1 a R 2 sú umiestnené vo vákuu vo veľkej vzdialenosti od seba. Guľa s väčším polomerom R 2 pozostáva z dvoch hemisfér. Hemisféry sú oddelené, privedené do sféry polomeru R 1 a sú opäť spojené, čím vytvárajú guľový kondenzátor. Určte prácu elektrických síl s týmto dizajnom kondenzátora.
Riešenie.
Elektrická energia dvoch nabitých gúľ vzdialených od seba sa rovná
.
Elektrická energia výsledného guľového kondenzátora:
,
Potenciál vnútornej sféry, 
- potenciál vonkajšej sféry. teda
Práca elektrických síl s týmto dizajnom kondenzátora:
Všimnite si, že elektrická energia guľového kondenzátora W 2 sa rovná práci vykonanej vonkajšími silami na nabitie kondenzátora. V tomto prípade fungujú elektrické sily 
. Táto práca sa vykonáva nielen vtedy, keď sa nabité dosky priblížia k sebe, ale aj keď sa na každú z dosiek aplikuje náboj. Preto A EL sa líši od práce uvedenej vyššie A, zdokonalený elektrickými silami až vtedy, keď sa dosky spoja.
Príklad 9.
Bodový poplatok q= 1,5 µC sa nachádza v strede guľového obalu, po povrchu ktorého je náboj rovnomerne rozložený Q= 5 uC. Nájdite prácu vykonanú elektrickými silami pri rozťahovaní plášťa - jeho polomer sa zväčšuje R 1 = 50 mm až R 2 = 100 mm.
Riešenie.
Energia interakcie bodového náboja q s nábojmi umiestnenými na sférickom plášti polomeru R rovná
,
Samoelektrická energia plášťa (energia vzájomného pôsobenia nábojov plášťa) sa rovná:
.
Práca elektrických síl počas expanzie plášťa:
.
Po transformáciách dostaneme
1,8 J.
Iné riešenie
Predstavme si bodový náboj vo forme rovnomerne nabitej gule s malým polomerom r a nabíjať q. Celková elektrická energia systému sa rovná
,
Potenciál polomeru sféry r,
Potenciál polomeru sféry R. Keď sa vonkajšia guľa roztiahne, elektrické sily fungujú
.
Po substitúciách a transformáciách dostaneme odpoveď.
Objemová hustota energie elektrického poľa
Príklad 10 .
Aká časť elektrickej energie nabitej vodivej gule umiestnenej vo vákuu je obsiahnutá v imaginárnej gule sústrednej s guľou, ktorej polomer je n krát polomer lopty?
Riešenie.
Objemová hustota energie elektrického poľa
definuje elektrickú energiu 
, lokalizované v nekonečne malom objeme 
(E– modul vektora intenzity elektrického poľa v tomto objeme, – dielektrická konštanta). Aby sme vypočítali celkovú elektrickú energiu nabitej vodivej gule, mentálne rozdeľme celý priestor na nekonečne tenké sférické vrstvy sústredné s nabitou guľou. Zoberme si jednu z týchto vrstiev polomeru r a hrúbka DR(pozri obr. 5). Jeho objem je
,
a elektrická energia sústredená vo vrstve
.
Napätie E pole nabitej vodivej gule závisí, ako je známe, od vzdialenosti r do stredu lopty. Vo vnútri lopty 
, preto pri výpočte energie stačí uvažovať len tie sférické vrstvy, ktorých polomer r ktorý presahuje polomer gule R.
O 
sila poľa
,
dielektrická konštanta 
a preto
,
Kde q– náboj lopty.
Celková elektrická energia nabitej gule je určená integrálom
,
a energia sústredená vo vnútri pomyselnej sféry polomeru nR, je rovnaký
.
teda
.
|
|
|
|
Príklad 11.
Určte elektrickú energiu systému pozostávajúceho z nabitej vodivej gule a s ňou sústrednej nenabitej vodivej sférickej vrstvy (obr. 6). Vnútorný a vonkajší polomer vrstvy a A b, polomer lopty 
, poplatok q, systém je vo vákuu.
Riešenie.
Indukované náboje sú rozložené na vnútornom a vonkajšom povrchu guľovej vrstvy. Ich algebraický súčet je nula, takže indukované náboje nevytvárajú elektrické pole pri 
, Kde r– vzdialenosť od stredu systému. V oblasti 
intenzita poľa indukovaných nábojov je tiež nulová, pretože sú rovnomerne rozložené po guľových plochách. Elektrické pole systému sa teda zhoduje s poľom gule rovnomerne nabitej na povrchu, s výnimkou vnútornej oblasti guľovej vrstvy, kde E= 0. Obrázok 7 zobrazuje približný graf závislosti 
. Ak vynecháme podrobné výpočty (pozri príklad 10), napíšeme pre elektrickú energiu systému:
,
Kde 
,
,
. Po integrácii dostaneme
.
Príklad 12.
Počiatočný poplatok q rovnomerne rozložené po celom objeme gule s polomerom R. Potom sa v dôsledku vzájomného odpudzovania náboje presunú na povrch gule. Akú prácu vykonávajú elektrické sily? Uvažujme dielektrickú konštantu rovnajúcu sa jednotke.
Riešenie.
Práca elektrických síl sa rovná strate elektrickej energie:
,
Kde W 1 – elektrická energia gule rovnomerne nabitá v celom objeme, W 2 – energia tej istej gule, rovnomerne nabitá po povrchu. Keďže celkový náboj je v oboch prípadoch rovnaký, elektrické pole mimo gule sa pri prechode náboja z objemu na povrch nemení. Elektrické pole a energia sa menia iba vo vnútri lopty.
Pomocou Gaussovej vety môžeme odvodiť vzorec pre intenzitu poľa vo vnútri rovnomerne nabitej gule na diaľku r z jeho stredu:
.
Elektrická energia sústredená vo vnútri lopty je určená integrálom:
.
Keď sa všetky náboje prenesú na povrch lopty, elektrické pole, a teda aj energia elektrického poľa vo vnútri lopty, sa vynuluje. teda
.
Načítava...
