Ряд называется знакочередующимся, если любые два соседних его члена имеют разные знаки, т.е. ряды вида u 1 – u 2 + u 3 – u 4 +… + u n + …, где u 1 , u 2 , …, u n , … положительны.
Теорема Лейбница.
Если члены
знакочередующегося ряда, взятые по
абсолютной величине, монотонно убывают
и модуль общего члена ряда стремится к
нулю при
,
т.е.
,
то ряд сходится.
Пример 1.
Исследовать сходимость знакочередующегося ряда:
.
Члены ряда, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают:
Ряд сходится.
1.6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда
Ряд u 1 + u 2 +…+ u n +… называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.
Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов.
Теорема. Дан знакопеременный ряд u 1 + u 2 +…+ u n +…(1). Составим ряд | u 1 |+| u 2 |+…+| u n |+… (2). Если ряд (2), составленный из абсолютных величин членов ряда (1), сходится, то ряд (1) сходится.
Определение. Знакопеременный ряд u 1 + u 2 +…+ u n +… называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов |u 1 |+| u 2 |+…+| u n |+… .
Если же знакопеременный ряд (1) сходится, а ряд (2), составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный знакопеременный ряд (1) называется условно или неабсолютно сходящимся рядом.
Пример 1.
Исследовать
на сходимость и абсолютную сходимость
ряд:
.
Знакочередующийся
ряд сходится по теореме Лейбница, т.к.
.
Члены ряда монотонно убывают и
.
Теперь исследуем данный ряд на абсолютную
сходимость. Рассмотрим ряд, составленный
из абсолютных величин членов данного
ряда:
.
Исследуем сходимость этого ряда с
помощью признака Даламбера:
.
Ряд сходится. Значит, заданный
знакочередующийся ряд сходится абсолютно.
Пример 2.
Исследовать на
сходимость и абсолютную сходимость
ряд:
.
По теореме Лейбница
.
Ряд сходится. Ряд, составленный из
абсолютных величин членов данного ряда,
имеет вид
.
По признаку Даламбера получим
.
Ряд сходится, значит, заданный
знакопеременный ряд сходится абсолютно.
2. Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда
Рассмотрим последовательность функций, заданных на некотором промежутке [ a , b ] :
f 1 (x ), f 2 (x ), f 3 (x ) … f n (x ), ….
Приняв эти функции в качестве членов ряда, образуем ряд:
f 1 (x ) + f 2 (x ) + f 3 (x ) + … + f n (x ) + …, (1)
который называется функциональным рядом .
Например: sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + … + sin(nx) + …
В частном случае функциональным рядом является ряд:
который называется
степенным
рядом
, где
постоянные числа, называемыекоэффициентами
членов степенного ряда
.
Степенной ряд может быть записан и в такой форме:
где
некоторое постоянное число.
При определенном фиксированном или числовом значении x получим числовой ряд, который может быть сходящимся или расходящимся.
Определение : Совокупность всех значений х (или всех точек х числовой прямой), при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.
Пример 1.
Найти область сходимости степенного ряда:
Решение (1 способ) .
Применим признак Даламбера.
Так как признак Даламбера применим к рядам только с положительными членами , то выражение, стоящее под знаком предела, взято по абсолютной величине.
По признаку
Даламбера ряд сходится, если
и
.
Т.е. ряд сходится,
если
< 1, откуда
или-3<
x
<3.
Получим интервал сходимости данного степенного ряда: (-3;3).
В крайних точках
интервала x
=
,
будем иметь
.
В этом случае теорема Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
Исследуем ряд на сходимость в граничных точках:
x = -3 ,
Получим знакочередующийся ряд. Исследуем его на сходимость по признаку Лейбница:
1.
члены ряда, взятые по абсолютной
величине, монотонно убывают.
2.
Следовательно, ряд в точкеx
= -3 сходится.
x = 3,
Получим положительный ряд. Применим интегральный признак Коши сходимости ряда.
члены ряда монотонно
убывают.
Функция
на промежутке
:
.
Несобственный интеграл расходится, значит, ряд в точке x=3 расходится.
Ответ:
Второй способ определения области сходимости степенного ряда основан на применении формулы радиуса сходимости степенного ряда:
,
где
и
коэффициенты
и
членов ряда.
Для данного ряда
имеем:
. R
=3.
ряд сходится
Интервал сходимости ряда: -3< x <3.
Далее, как и в
предыдущем случае, надо исследовать в
граничных точках: x
=
.
Ответ: область сходимости ряда [-3;3).
Отметим,
что второй
способ определения области сходимости
степенного ряда с использованием формулы
радиуса сходимости ряда
более рационален.
Пример 2.
Найти область
сходимости степенного ряда:
.
Найдем R – радиус сходимости ряда.
,
,
.
.
.
Интервал сходимости
ряда (-
;
).
Исследуем ряд на
сходимость в точках x
= -
иx
=
.
x
= -
,
Получим знакочередующийся ряд. Применим признак Лейбница:
1.
члены ряда, взятые по абсолютной величине,
монотонно убывают.
2.
,
следовательно, ряд в точкеx
= -
сходится.
x
=
,
.
Получили ряд с положительными членами. Применим интегральный признак Коши.
Здесь
:
,
члены ряда
монотонно убывают.
Функция
на промежутке
:
.
Несобственный интеграл расходится, ряд расходится.
Ответ:
[-
;
)
– область сходимости ряда.
До сих пор мы изучали только ряды, все члены которых были положительными . Теперь мы перейдем к рассмотрению рядов, содержащих как положительные, так и отрицательные члены. Такие ряды называются знакопеременными.
В качестве примера знакопеременного ряда приведем ряд
Изучение знакопеременных рядов мы начнем с частного случая, так называемых знакочередующихся рядов, т. е. рядов, в которых за каждым положительным членом следует отрицательный и за каждым отрицательным членом следует положительный.
Обозначая через - абсолютные величины членов ряда и считая, что первый член положителен, знакочередующийся ряд запишем следующим образом:
Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости Лейбница.
Признак Лейбница. Если в знакочередующемся ряде (34) абсолютные величины членов убывают:
и общий член ряда стремится к нулю: , то ряд сходится и его сумма не превосходит первого члена ряда.
Доказательство. Рассмотрим частичную сумму четного числа членов ряда
Сгруппируем члены попарно:
Так как по условию абсолютные величины членов ряда убывают, то все разности в скобках положительны и, следовательно, сумма положительна и возрастает при увеличении .
Запишем теперь группируя члены иным образом:
Сумма в квадратных скобках будет также положительной. Поэтому для любого значения . Таким образом, последовательность четных частичных сумм возрастает с увеличением , оставаясь при этом ограниченной. Следовательно, имеет предел
При этом, так как то ясно, что Рассмотрим теперь сумму нечетного числа членов:
При имеем
так как по условию и, следовательно, .
Таким образом, частичные суммы как четного, так и нечетного числа членов имеют общий предел S. Это означает, что вообще , т. е. ряд сходится. При этом, как видно из доказательства, сумма ряда S не превосходит первого члена ряда.
Пример 1. Исследовать, сходится или расходится ряд
Решение. Этот ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница:
Следовательно, ряд сходится.
Перейдем теперь к рассмотрению общего случая знакопеременного ряда. Будем предполагать, что в ряде
числа могут быть как положительными, так и отрицательными.
Для таких рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.
Теорема. Если для знакопеременного ряда
сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов
то данный знакопеременный ряд также сходится.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательный ряд, составленный из членов рядов (37) и (38):
Таким образом, члены ряда (39) либо равны членам сходящегося ряда (38), либо меньше их. Поэтому ряд (39) сходится на основании признака сравнения (см. п. 5, теорему 1 и сноску на стр. 501).
Умножив все члены сходящегося ряда (38) на получим сходящийся ряд
(см. п. 3, теорема 1). Рассмотрим теперь ряд, являющийся разностью сходящихся рядов (39) и (40)
Этот ряд сходится на основании теоремы 2 п. 3.
Но ряд (37) получается из последнего ряда умножением всех его членов на 2:
Следовательно, ряд (37) также сходится (п. 3, теорема 1).
Пример 2. Исследовать на сходимость знакопеременный ряд (33)
Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда
Этот ряд сходится, как обобщенный гармонический ряд с показателем . Следовательно, на основании доказанного признака сходится и данный ряд (33).
Этот признак является достаточным, но не необходимым. Это значит, что существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, в то время как ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.
Действительно рассмотрим ряд
который, очевидно, сходится по признаку Лейбница. Между тем, ряд
составленный из абсолютных величин членов данного ряда является гармоническим и, следовательно, расходится.
Хотя рассмотренные выше ряды (33) и (42) оба сходятся, однако характер их сходимости различен.
Ряд (33) сходится одновременно с рядом (41), составленным из абсолютных величин его членов, тогда как ряд (43), составленный из абсолютных величин сходящегося ряда (42), расходится.
В связи с этим введем следующие определения.
Определение. Знакопеременный ряд абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов
На основании достаточного признака сходимости знакопеременного ряда всякий абсолютно сходящийся ряд будет сходящимся.
Определение. Знакопеременный ряд называется неабсолютно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов их расходится.
Возвращаясь к рассмотренным выше примерам, можем сказать, что ряд (33) является абсолютно сходящимся, а ряд ( - неабсолютно сходящимся.
Знакопеременными называются ряды, члены которых могут иметь любые знаки, например, .
В частности, если положительные и отрицательные члены ряда следуют друг за другом поочередно, то такой знакопеременный ряд называется знакочередующимся.
Знакочередующие ряды
Знакочередующий ряд, члены которого являются положительными, можно представить в виде
Для исследования сходимости знакочередующихся рядов применяют признак Лейбница.
Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов убывают, а общий член стремится к нулю, т. е. если выполняются следующие два условия:
1)
и 2)
.
Достаточно важный класс сходящихся рядов образуют так называемые абсолютно сходящиеся ряды. При этом членами таких рядов могут быть любые действительные числа.
Определение
9.5.
Ряд
называется абсолютно сходящимся, если
сходится
.
Теорема
9.4.
Если ряд
сходится, то и ряд
тоже
сходится.
Данная теорема утверждает, что если ряд абсолютно сходится, то он и просто сходится.
Необходимо отметить, что:
1) для знакопостоянных рядов понятие сходимости и абсолютной сходимости совпадают;
2)
ряд называется условно сходящимся, если
он сходится, а ряд
расходится.
Рассмотрим признаки Даламбера и Коши для произвольных знакопеременных рядов.
Признак
Даламбера.
Если существует
,
то при
ряд
абсолютно
сходится, при
ряд будет расходящимся, при
признак
не решает вопроса о сходимости ряда.
Задача 9.7. Исследовать сходимость ряда
Здесь за каждыми двумя положительными членами ряда следует два отрицательных. Для исследования сходимости такого ряда воспользуемся признаком Даламбера.
.
Исходный ряд сходится по признаку Даламбера.
Задача 9.8. Исследовать ряд на абсолютную сходимость
Здесь
.
Для такого ряда выполняются следующие
условия:
а)
б)
.
Следовательно, исходный ряд сходится
в соответствии с признаком Лейбница.
Исследуем
заданный ряд на абсолютную сходимость.
Для этого составим ряд
из абсолютных величин:
Такой ряд представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, которая всегда сходится. Таким образом, исходный ряд сходится абсолютно.
Задача 9.9 . Исследовать сходимость ряда
Здесь
,
следовательно ряд расходящийся, так
как не выполняется необходимое условие
сходимости.
Тема 9.2. Функциональные ряды
Пусть
задана следующая последовательность
функций
,
т. е.
которая определена на некотором множестве. Если члены такой последовательности соединить знаком плюс, то получают выражение
или
.
Такие выражения называют функциональными
рядами, а функция
называется общим членом ряда.
Частными
суммами ряда
называются функции вида
Функциональный
ряд
называется сходящимся при
или в точке (
),
если в этой точке сходится последовательность
его частных сумм:
Другими
словами, можно отметить, что функциональный
ряд
сходится при
,
если сходится числовой ряд
.
Предел
последовательности
,
обозначим его через
,
называется суммой ряда
в точке
.
Определение
9.6.
Совокупность всех значений
,
для которых сходится ряд
,
называется областью сходимости этого
ряда.
Пусть
на отрезке тогда
на рассматриваемом отрезке. В этом
случае отмечают, что функция
разлагается в ряд на отрезке
.
Как
было показано, сходимость функционального
ряда на отрезке
означает, что для любого значения
отрезка
соответствующий числовой ряд сходится.
В этой связи для исследования на
сходимость функциональных рядов можно
использовать признаки сходимости
числовых рядов.
Задача 9.10. Найти область сходимости ряда
Компактно этот ряд можно представить следующим образом
.
Этот
ряд сходится для всех
.
Действительно, для каждого
сумма ряда равна
(сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии). Таким образом, в интервале
исходный ряд определяет функцию
Определение 1
Числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $, члены которого имеют произвольные знаки (+), (?), называется знакопеременным рядом.
Рассмотренные выше знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременного ряда; понятно, что не всякий знакопеременный ряд является знакочередующимся. Например, ряд $1-\frac{1}{2} -\frac{1}{3} +\frac{1}{4} +\frac{1}{5} -\frac{1}{6} -\frac{1}{7} +\ldots - $ знакопеременный, но не являющийся знакочередующимся рядом.
Отметим, что в знакопеременном ряде членов как со знаком (+), так и со знаком (-) бесконечно много. Если это не выполняется, например, ряд содержит конечное число отрицательных членов, то их можно отбросить и рассматривать ряд, составленный только из положительных членов, и наоборот.
Определение 2
Если числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ сходится и его сумма равна S,а частичная сумма равна $S_n$ , то $r_{n} =S-S_{n} $ называется остатком ряда, причём $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } r_{n} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } (S-S_{n})=S-S=0$, т.е. остаток сходящегося ряда стремится к 0.
Определение 3
Ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| $.
Определение 4
Если числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ сходится, а ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| $, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.
Теорема 1 (достаточный признак сходимости знакопеременных рядов)
Знакопеременный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ сходится, причём абсолютно, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| $.
Замечание
Теорема 1 даёт только достаточное условие сходимости знакопеременных рядов . Обратная теорема неверна, т.е. если знакопеременный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ сходится, то не обязательно, что сходится ряд, составленный из модулей $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| $ (он может быть как сходящимся, так и расходящимся). Например, ряд $1-\frac{1}{2} +\frac{1}{3} -\frac{1}{4} +...=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1} }{n} $ сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{1}{n} $ (гармонический ряд) расходится.
Свойство 1
Если ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ абсолютно сходится, то он абсолютно сходится при любой перестановке его членов, при этом сумма ряда не зависит от порядка расположения членов. Если $S"$ - сумма всех его положительных членов, а $S""$ - сумма всех абсолютных величин отрицательных членов, то сумма ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ равна $S=S"-S""$.
Свойство 2
Если ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ абсолютно сходится и $C={\rm const}$, то ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }C\cdot u_{n} $ также абсолютно сходится.
Свойство 3
Если ряды $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ и $\sum \limits _{n=1}^{\infty }v_{n} $ абсолютно сходятся, то ряды $\sum \limits _{n=1}^{\infty }(u_{n} \pm v_{n}) $ также абсолютно сходятся.
Свойство 4 (теорема Римана)
Если ряд условно сходится, то какое бы мы не взяли число А, можно переставить члены данного ряда так, чтобы его сумма оказалась в точности равной А; более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, чтобы после этого он расходился.
Пример 1
Исследовать на условную и абсолютную сходимость ряд
\[\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} .\]
Решение. Данный ряд является знакопеременным, общий член которого обозначим: $\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.
Пример 2
Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot \sqrt{n} }{n+1} $.
- Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Обозначим $\frac{(-1)^{n} \cdot \sqrt{n} }{n+1} =u_{n} $ и составим ряд из абсолютных величин $a_{n} =\left|u_{n} \right|=\frac{\sqrt{n} }{n+1} $. Получаем ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{\sqrt{n} }{n+1} $ с положительными членами, к которому применяем предельный признак сравнения рядов. Для сравнения с рядом $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{\sqrt{n} }{n+1} $ рассмотрим ряд, который имеет вид $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, b_{n} =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{1}{\sqrt{n} } \, $. Этот ряд является рядом Дирихле с показателем $p=\frac{1}{2}
- Далее исследуем исходный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot \sqrt{n} }{n+1} $ на условную сходимость. Для этого проверим выполнение условий признака Лейбница. Условие 1): $u_{n} =(-1)^{n} \cdot a_{n} $, где $a_{n} =\frac{\sqrt{n} }{n+1} >0$, т.е. этот ряд знакочередующийся. Для проверки условия 2) о монотонном убывании членов ряда используем следующий метод. Рассмотрим вспомогательную функцию $f(x)=\frac{\sqrt{x} }{x+1} $, определенную при $x\in }
Загрузка...
