Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.

Абсолютная и условная сходимость

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.

Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.

Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Исследовать на сходимость ряд .

Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем

поскольку . Следовательно, данный ряд сходится.

38. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.

Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.

Пусть {an} является числовой последовательностью, такой, что

1. an+1 < an для всех n;

Тогда знакочередующиеся ряды исходятся.

39. Функциональные ряды. Степенные ряды. Радиус сходимости. Интервал сходимости.

Понятие функционального ряда и степенного ряда

Обычный числовой ряд, вспоминаем, состоит из чисел:

Все члены ряда –это ЧИСЛА.

Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ:

В общий член рядапомимо многочленов, факториалов и других подарков непременно входит буковка «икс». Выглядит это, например, так:

Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:

Как видите, все члены функционального ряда это функции.

Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд.

Определение:

Степенной ряд – это ряд, в общий член которого входят целые положительные степени независимой переменной.

Упрощенно степенной ряд во многих учебниках записывают так: , где– это старая знакомая «начинка» числовых рядов (многочлены, степени, факториалы, зависящие только от «эн»). Простейший пример:

Посмотрим на это разложение и еще раз осмыслим определение: члены степенного ряда содержат «иксы» в целых положительных (натуральных) степенях.

Очень часто степенной ряд можно встретить в следующих «модификациях»: илигде а – константа. Например:

Строго говоря, упрощенные записи степенного ряда,илине совсем корректны. В показателе степени вместо одинокой буквы «эн» может располагаться более сложное выражение, например:

Или такой степенной ряд:

Лишь бы показатели степеней при «иксАх» были натуральными.

Сходимость степенного ряда .

Интервал сходимости, радиус сходимости и область сходимости

Не нужно пугаться такого обилия терминов, они идут «рядом друг с другом» и не представляют особых сложностей для понимания. Лучше выберем какой-нибудь простой подопытный ряд и сразу начнём разбираться.

Прошу любить и жаловать степенной ряд Переменная может принимать любое действительное значение от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Подставим в общий член ряда несколько произвольных значений «икс»:

Если х=1,то

Если х=-1,то

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Абсолютная и условная сходимость

Для того чтобы понять примеры данного урока необходимо хорошо ориентироваться в положительных числовых рядах: понимать, что такое ряд, знать необходимый признак сходимости ряда, уметь применять признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши. Тему можно поднять практически с нуля, последовательно изучив статьи Ряды для чайников и Признак Даламбера. Признаки Коши . Логически этот урок является третьим по счёту, и он позволит не только разобраться в знакочередующихся рядах, но и закрепить уже пройденный материал! Какой-то новизны будет немного, и освоить знакочередующиеся ряды не составит большого труда. Всё просто и доступно.

Что такое знакочередующийся ряд? Это понятно или почти понятно уже из самого названия. Сразу простейший пример.

Рассмотрим ряд и распишем его подробнее:

А сейчас будет убийственный комментарий. У членов знакочередующегося ряда чередуются знаки: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус и т.д. до бесконечности.

Знакочередование обеспечивает множитель : если чётное, то будет знак «плюс», если нечётное – знак «минус» (как вы помните ещё с урока о числовых последовательностях , эта штуковина называется «мигалкой»). Таким образом, знакочередующийся ряд «опознается» по минус единичке в степени «эн».

В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель , но и его родные братья: , , , …. Например:

Подводным камнем являются «обманки»: , , и т.п. – такие множители не обеспечивают смену знака . Совершенно понятно, что при любом натуральном : , , . Ряды с обманками подсовывают не только особо одаренным студентам, они время от времени возникают «сами собой» в ходе решения функциональных рядов .

Как исследовать знакочередующийся ряд на сходимость? Использовать признак Лейбница. Про немецкого гиганта мысли Готфрида Вильгельма Лейбница я рассказывать ничего не хочу, так как помимо математических трудов, он накатал несколько томов по философии. Опасно для мозга.

Признак Лейбница : Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится.

Или в два пункта:

1) Ряд является знакочередующимся.

2) Члены ряда убывают по модулю: , причём, убывают монотонно.

Если выполнены эти условия, то ряд сходится .

Краткая справка о модуле приведена в методичке Горячие формулы школьного курса математики , но для удобства ещё раз:

Что значит «по модулю»? Модуль, как мы помним со школы, «съедает» знак «минус». Вернемся к ряду . Мысленно сотрём ластиком все знаки и посмотрим на числа . Мы увидим, что каждый следующий член ряда меньше , чем предыдущий. Таким образом, следующие фразы обозначают одно и то же:

– Члены ряда без учёта знака убывают.
– Члены ряда убывают по модулю .
– Члены ряда убывают по абсолютной величине .
– Модуль общего члена ряда стремится к нулю:

// Конец справки

Теперь немного поговорим про монотонность. Монотонность – это скучное постоянство.

Члены ряда строго монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю МЕНЬШЕ, чем предыдущий: . Для ряда выполнена строгая монотонность убывания, её можно расписать подробно:

А можно сказать короче: каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: .

Члены ряда нестрого монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю НЕ БОЛЬШЕ предыдущего: . Рассмотрим ряд с факториалом: Здесь имеет место нестрогая монотонность, так как первые два члена ряда одинаковы по модулю. То есть, каждый следующий член ряда по модулю не больше предыдущего: .

В условиях теоремы Лейбница должна выполняться монотонность убывания (неважно, строгая или нестрогая). Кроме того, члены ряда могут даже некоторое время возрастать по модулю , но «хвост» ряда обязательно должен быть монотонно убывающим.

Не нужно пугаться того, что я нагородил, практические примеры всё расставят по своим местам:

Пример 1

В общий член ряда входит множитель , и это наталкивает на естественную мысль проверить выполнение условий признака Лейбница:

1) Проверка ряда на знакочередование. Обычно в этом пункте решения ряд расписывают подробно и выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся».

2) Убывают ли члены ряда по модулю? Здесь нужно решить предел , который чаще всего является очень простым.

– члены ряда не убывают по модулю, и из этого автоматически следует его расходимость – по той причине, что предела не существует *, то есть, не выполнен необходимый признак сходимости ряда .

Пример 9

Исследовать ряд на сходимость

Пример 10

Исследовать ряд на сходимость

После качественной проработки числовых положительных и знакопеременных рядов с чистой совестью можно перейти к функциональным рядам , которые не менее монотонны и однообразны интересны.

Знакопеременными называются ряды, члены которых могут иметь любые знаки, например, .

В частности, если положительные и отрицательные члены ряда следуют друг за другом поочередно, то такой знакопеременный ряд называется знакочередующимся.

Знакочередующие ряды

Знакочередующий ряд, члены которого являются положительными, можно представить в виде

Для исследования сходимости знакочередующихся рядов применяют признак Лейбница.

Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов убывают, а общий член стремится к нулю, т. е. если выполняются следующие два условия:

1)
и 2)
.

Достаточно важный класс сходящихся рядов образуют так называемые абсолютно сходящиеся ряды. При этом членами таких рядов могут быть любые действительные числа.

Определение 9.5. Рядназывается абсолютно сходящимся, если сходится
.

Теорема 9.4. Если ряд
сходится, то и рядтоже сходится.

Данная теорема утверждает, что если ряд абсолютно сходится, то он и просто сходится.

Необходимо отметить, что:

1) для знакопостоянных рядов понятие сходимости и абсолютной сходимости совпадают;

2) ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд
расходится.

Рассмотрим признаки Даламбера и Коши для произвольных знакопеременных рядов.

Признак Даламбера. Если существует
, то при
рядабсолютно сходится, при
ряд будет расходящимся, при
признак не решает вопроса о сходимости ряда.

Задача 9.7. Исследовать сходимость ряда

Здесь за каждыми двумя положительными членами ряда следует два отрицательных. Для исследования сходимости такого ряда воспользуемся признаком Даламбера.

.

Исходный ряд сходится по признаку Даламбера.

Задача 9.8. Исследовать ряд на абсолютную сходимость

Здесь
. Для такого ряда выполняются следующие условия:

а)

б)
. Следовательно, исходный ряд сходится в соответствии с признаком Лейбница.

Исследуем заданный ряд на абсолютную сходимость. Для этого составим ряд
из абсолютных величин:

Такой ряд представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, которая всегда сходится. Таким образом, исходный ряд сходится абсолютно.

Задача 9.9 . Исследовать сходимость ряда

Здесь
, следовательно ряд расходящийся, так как не выполняется необходимое условие сходимости.

Тема 9.2. Функциональные ряды

Пусть задана следующая последовательность функций
, т. е.

которая определена на некотором множестве. Если члены такой последовательности соединить знаком плюс, то получают выражение

или
. Такие выражения называют функциональными рядами, а функция
называется общим членом ряда.

Частными суммами ряда
называются функции вида

Функциональный ряд
называется сходящимся при
или в точке (), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм:

Другими словами, можно отметить, что функциональный ряд
сходится при
, если сходится числовой ряд
.

Предел последовательности
, обозначим его через
, называется суммой ряда
в точке.

Определение 9.6. Совокупность всех значений, для которых сходится ряд
, называется областью сходимости этого ряда.

Пусть
на отрезке тогда
на рассматриваемом отрезке. В этом случае отмечают, что функция
разлагается в ряд на отрезке
.

Как было показано, сходимость функционального ряда на отрезке
означает, что для любого значенияотрезка
соответствующий числовой ряд сходится. В этой связи для исследования на сходимость функциональных рядов можно использовать признаки сходимости числовых рядов.

Задача 9.10. Найти область сходимости ряда

Компактно этот ряд можно представить следующим образом

.

Этот ряд сходится для всех
. Действительно, для каждого
сумма ряда равна(сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии). Таким образом, в интервале
исходный ряд определяет функцию

Ряд (1) называется знакопеременным , если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные члены.

Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда ). Пусть задан знакопеременный ряд

a 1 + a 2 + … +a n + …. (13)

Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

|a 1 | + |a 2 | + … + |a n | +… , (14)

сходится, то сходится и данный ряд (13).

Ряд (13) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (14), составленный из абсолютных величин членов ряда (13). Если же знакопеременный ряд (13) сходится, а ряд (14) расходится, то ряд (13) называется условно или неабсолютно сходящимся .

a 1 – a 2 + a 3 – a 4 +… + a n + …., (15)

где , называется знакочередующимся.

Теорема (признак Лейбница ). Знакочередующийся ряд (15) сходится, если абсолютные величины его членов не возрастают, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняются следующие два условия:

Замечание 1 . При решении задач на исследование сходимости ряда полезно знать особенности поведения следующих рядов:

1. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии : сходится при и расходится при , q – знаменатель прогрессии;

2. Обобщенный гармонический ряд : сходится при и расходится при . В частном случае () получаем гармонический ряд , который расходится.

Замечание 2. Если ряд (15) удовлетворяет условиям признака Лейбница, то ошибка, совершаемая при замене S на S n , не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов. Это свойство используется для приближенных вычислений.

Задание 1

Решение. Так как (второй замечательный предел), то в силу следствия из необходимого признака сходимости ряда получаем, что данный ряд расходится.

Задание 2 .

Решение . Выясним поведение данного ряда с помощью признака сравнения. Для этого сравним его с рядом (это – обобщенный гармонический ряд, который сходится, так как ). Имеем:

и, следовательно, из сходимости ряда по признаку сравнения следует сходимость и данного ряда.

Задание 3 . Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Выясним поведение данного ряда с помощью предельного признака сравнения. Сравним данный ряд с рядом (это - гармонический ряд, который расходится). Имеем:

и, следовательно, ряды и данный ведут себя одинаково. Таким образом, по предельному признаку сравнения исследуемый ряд расходится.

Задание 4. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим к данному ряду признак Даламбера. Имеем:

Тогда . Следовательно, по признаку Даламбера данный ряд сходится.

Задание 5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение . Применим к данному ряду признак Коши. Имеем:

и, следовательно, в силу признака Коши данный ряд сходится.

Задание 6 . Исследовать на сходимость ряд .

Решение . Применим к данному ряду интегральный признак Коши. Имеем:

Для исследования исходного ряда на условную сходимость применим к нему признак Лейбница. Имеем:

1) и очевидно, что

Следовательно, условия признака Лейбница выполнены. Таким образом, исходный ряд сходится условно.

Определение 6.1 Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.

Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.

Пусть {an} является числовой последовательностью, такой, что

1. an+1 < an ;

Тогда знакочередующиеся ряды и сходятся.

Абсолютная и условная сходимость

Определение 6.2 Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится. Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.

Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем

поскольку. Следовательно, данный ряд сходится.

Исследовать на сходимость ряд.

Попробуем применить признак Лейбница:

Видно, что модуль общего члена не стремится к нулю при n > ?. Поэтому данный ряд расходится

Применяя признак Даламбера к ряду, составленному из модулей соответствующих членов, находим

Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.

Определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?

Сначала воспользуемся признаком Лейбница и найдем предел. Вычислим этот предел по правилу Лопиталя:

Таким образом, исходный ряд расходится.

Исследовать на сходимость ряд

Общий член данного ряда равен. Применим признак Даламбера к ряду, составленному из модулей:

Следовательно. исходный ряд сходится абсолютно.

Исследовать, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?

Применяя признак Лейбница, видим, что ряд является сходящимся:

Рассмотрим теперь сходимость ряда, составленного из модулей соответствующих членов. Используя интегральный признак сходимости, получаем

Следовательно исходный ряд сходится условно.

Определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?

Сначала применим признак Лейбница:

Следовательно, данный ряд сходится. Выясним, является ли эта сходимость абсолютной или условной. Воспользуемся предельным признаком сравнения и сравним соответствующий ряд из модулей с расходящимся гармоническим рядом:

Поскольку ряд, составленный из модулей, расходится, то исходный знакочередующийся ряд является условно сходящимся.

1. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости

Определить сходимость ряда (1.1) и найти его сумму в случае сходимости непосредственно по определению 1.1 как предела последовательности частичных сумм, весьма затруднительно. Поэтому существуют достаточные признаки определения сходится ряд или расходится. В случае его сходимости приближенным значением его суммы с любой степенью точности может служить сумма соответствующего числа первых n членов ряда.

Здесь будем рассматривать ряды (1.1) с положительными (неотрицательными) членами, т. е. ряды, для которых Такие ряды будем называть положительными рядами.

Теорема 3.1. (признак сравнения)

Пусть даны два положительных ряда

и выполняются условия для всех n=1,2,…

Тогда: 1) из сходимости ряда (3.2) следует сходимость ряда (3.1);

2) из расходимости ряда (3.1) следует расходимость ряда (3.2).

Доказательство. 1. Пусть ряд (3.2) сходится и его сумма равна В. Последовательность частичных сумм ряда (3.1) является неубывающей ограниченной сверху числом В, т. е.

Тогда в силу свойств таких последовательностей следует, что она имеет конечный предел, т. е. ряд (3.1) сходится.

2. Пусть ряд (3.1) расходится. Тогда, если ряд (3.2) сходится, то в силу доказанного выше пункта 1 сходился бы и исходный ряд, что противоречит нашему условию. Следовательно ряд (3.2) также расходится.

Этот признак удобно применять к определению сходимости рядов, сравнивая их с рядами, сходимость которых уже известна.

Пример 3.1. Исследовать на сходимость ряд

Члены ряда положительны и меньше соответствующих членов сходящегося ряда геометрической прогрессии

т. к. , n=1,2,…

Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд также сходится.

Пример 3.2. Исследовать на сходимость ряд

Члены данного ряда положительны и больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда

Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд расходится.

Теорема 3.2. (Предельный признак Даламбера).

Тогда: 1) при q < 1 ряд (1.1) сходится;

• 2) при q > 1 ряд (1.1) расходится;

Замечание: Ряд (1.1) будет расходиться и в том случае, когда

Пример 3.3. Исследовать на сходимость ряд

Применим предельный признак Даламбера.

В нашем случае.

Пример 3.4. Исследовать на сходимость ряд

Следовательно, исходный ряд сходится.

Пример 3.5. Исследовать на сходимость ряд

Применим предельный признак Даламбера:

Следовательно, исходный ряд расходится.

Замечание. Применение предельного признака Даламбера к гармоническому ряду не дает ответа о сходимости этого ряда, т. к. для этого ряда

Теорема 3.3. (Предельный признак Коши Коши Огюстен Луи (1789 - 1857), французский математик.).

Пусть члены положительного ряда (1.1) таковы, что существует предел

Тогда: 1) при q < 1 ряд (1.1) сходится;

• 2) при q > 1 ряд (1.1) расходится;
• 3) при q = 1 о сходимости ряда (1.1) ничего сказать нельзя, необходимы дополнительные исследования.

Пример 3.6. Исследовать на сходимость ряд

Применим предельный признак Коши:

Следовательно, исходный ряд сходится.

Теорема 3.4. (Интегральный признак Коши).

Пусть функция f(x) непрерывная неотрицательная невозрастающая функция на промежутке

Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Пример 3.7. Исследовать на сходимость гармонический ряд

Применим интегральный признак Коши.

В нашем случае функция удовлетворяет условию теоремы 3.4. Исследуем на сходимость несобственный интеграл

Несобственный интеграл расходится, следовательно, исходный гармонический ряд расходится также.

Пример 3.8. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд

Функция удовлетворяет условию теоремы 3.4.

Исследуем на сходимость несобственный интеграл

Рассмотрим следующие случаи:

• 1) пусть Тогда обобщенный гармонический ряд есть гармонический ряд, который расходится, как показано в примере 3.7.
• 2) пусть Тогда

Несобственный интеграл расходится, и, следовательно, ряд расходится;

3) пусть Тогда

Несобственный интеграл сходится, и, следовательно, ряд сходится.

Окончательно имеем

Замечания. 1. Обобщенный гармонический ряд будет расходиться при, т. к. в этом случае не выполняется необходимый признак сходимости: общий член ряда не стремится к нулю.

2. Обобщенный гармонический ряд удобно использовать при применении признака сравнения.

Пример 3.9. Исследовать на сходимость ряд

Члены ряда положительны и меньше соответствующих членов сходящегося обобщенного гармонического ряда

т. к. и параметр

Следовательно, исходный ряд сходится (по признаку сравнения).

Перейдем к рассмотрению рядов, члены которых могут быть как положительными, так и отрицательными.