Konvergencia striedavých radov. Funkčná séria. Mocninný rad. Polomer konvergencie. Interval konvergencie

Rad sa nazýva striedavý, ak akékoľvek dva susedné členy majú rôzne znamienka, t.j. rad tvaru u 1 – u 2 + u 3 – u 4 +… + u n + …, kde u 1, u 2, …, u n, … sú kladné.

Leibnizova veta. Ak členy striedavého radu, brané v absolútnej hodnote, klesajú monotónne a modul všeobecného členu radu má tendenciu k nule pri , t.j.
, potom rad konverguje.

Príklad 1

Preskúmajte konvergenciu striedavého radu:

.

Členy radu, brané absolútnou hodnotou, klesajú monotónne:

Séria sa zbližuje.

1.6. Striedavé série. Absolútna a podmienená konvergencia radov

riadok u 1 + u 2 +…+ u n +… sa nazýva striedavý, ak jeho členy zahŕňajú pozitívne aj negatívne.

Striedavé série sú špeciálnym prípadom striedavých sérií.

Veta. Dané striedavé série u 1 + u 2 +…+ u n +…(1). Urobme sériu | u 1 |+| u 2 |+…+| u n |+… (2). Ak séria (2), zložená z absolútnych hodnôt členov radu (1), konverguje, potom séria (1) konverguje.

Definícia. Striedavé série u 1 + u 2 +…+ u n +… sa nazýva absolútne konvergentné, ak rad zložený z absolútnych hodnôt jeho členov konverguje | u 1 |+| u 2 |+…+| u n |+… .

Ak striedavý rad (1) konverguje a rad (2), zložený z absolútnych hodnôt jeho členov, diverguje, potom sa tento striedavý rad (1) nazýva podmienene alebo neabsolútne konvergentný rad.

Príklad 1

Preskúmajte rad z hľadiska konvergencie a absolútnej konvergencie:
.

Striedavý rad konverguje podľa Leibnizovej vety, pretože
. Členy radu monotónne klesajú a
. Teraz skúmame tento rad na absolútnu konvergenciu. Uvažujme sériu zloženú z absolútnych hodnôt podmienok tejto série: . Skúmame konvergenciu tohto radu pomocou d’Alembertovho testu:
. Séria sa zbližuje. To znamená, že daný striedavý rad absolútne konverguje.

Príklad 2

Preskúmajte rad z hľadiska konvergencie a absolútnej konvergencie:
.

Podľa Leibnizovej vety
. Séria sa zbližuje. Séria zložená z absolútnych hodnôt členov daného radu má tvar
. Použitím d'Alembertovho kritéria dostaneme
. Rad konverguje, čo znamená, že daný striedavý rad konverguje absolútne.

2. Funkčný rad. Oblasť konvergencie funkčného radu

Zvážte postupnosť funkcií definovanú na určitom intervale [ a, b] :

f 1 (X), f 2 (X), f 3 (X) … f n (X), ….

Berúc tieto funkcie ako členov série, tvoríme sériu:

f 1 (X) + f 2 (X) + f 3 (X) + … + f n (X) + …, (1)

ktorá sa volá funkčný rozsah.

Napríklad: sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + … + sin(nx) + …

V konkrétnom prípade je funkčným radom rad:

ktorá sa volá mocninný rad, Kde
volané konštantné čísla koeficienty členov mocninového radu.

Mocninný rad možno zapísať aj v tejto forme:

Kde
nejaké konštantné číslo.

Pri určitej pevnej alebo číselnej hodnote X dostaneme číselný rad, ktorý môže byť konvergentný alebo divergentný.

Definícia : Sada všetkých hodnôt X(alebo všetky body Xčíselný rad), pre ktorý mocninný rad konverguje sa nazýva oblasť konvergencie mocninového radu.

Príklad 1

Nájdite oblasť konvergencie mocninného radu:

Riešenie (1 cesta).

Aplikujme d'Alembertov test.

Keďže d'Alembertov test je použiteľný len pre série s pozitívnych členov, potom sa výraz pod medzným znakom berie v absolútnej hodnote.

Podľa d'Alembertovho testu séria konverguje, ak
A
.

Tie. rad konverguje ak < 1, откуда
alebo -3< X<3.

Dostaneme interval konvergencie tohto mocninného radu: (-3;3).

V extrémnych bodoch intervalu X =
, bude mať
.

V tomto prípade d'Alembertova veta neodpovedá na otázku konvergencie radu.

Skúmame rad z hľadiska konvergencie v hraničných bodoch:

x = -3,

Dostaneme znamenie striedavého radu. Skúmame konvergenciu pomocou Leibnizovho kritéria:

1.
členy série, brané v absolútnej hodnote, klesajú monotónne.

2.
Preto rad konverguje v bode x = -3.

X = 3,

Dostávame pozitívnu sériu. Aplikujme integrálny Cauchyho test na konvergenciu radu.

členy radu monotónne klesajú.

Funkcia
medzi
:

.

Nevlastný integrál diverguje, čo znamená, že rad v bode x=3 diverguje.

odpoveď:

Druhý spôsob určenie oblasti konvergencie mocninového radu je založené na použití vzorca pre polomer konvergencie mocninného radu:

, Kde A
kurzov A
členovia série.

Pre túto sériu máme:

. R=3.

rad konverguje

Interval konvergencie radu: -3< X<3.

Ďalej, ako v predchádzajúcom prípade, musíme preskúmať hraničné body: X =
.

odpoveď: oblasť konvergencie radu [-3;3).

Poznač si tože druhý spôsob určenia oblasti konvergencie mocninového radu je pomocou vzorca pre polomer konvergencie radu
racionálnejšie.

Príklad 2

Nájdite oblasť konvergencie mocninného radu:
.

nájdeme R– polomer konvergencie radu.

,
,
.

.
.

Interval konvergencie radu (- ;).

Skúmame rad z hľadiska konvergencie v bodoch X = -A X = .

X = - ,

Dostaneme znamenie striedavého radu. Aplikujme Leibnizov test:

1.
členy série, brané v absolútnej hodnote, klesajú monotónne.

2.
, teda rad v bode x = - konverguje.

x = ,
.

Pohádali sme sa s pozitívnymi členmi. Aplikujme integrálny Cauchyho test.

Tu
:

, členovia série
klesať monotónne.

Funkcia
medzi
:

.

Nevlastný integrál diverguje, rad diverguje.

odpoveď: [-;) – oblasť konvergencie radu.

Doteraz sme študovali iba série, ktorých podmienky boli všetky pozitívne. Teraz prejdeme k sériám obsahujúcim pozitívne aj negatívne výrazy. Takéto série sa nazývajú striedavé série.

Ako príklad striedavého radu uvádzame rad

Štúdium striedavých radov začneme špeciálnym prípadom, takzvaným striedavým radom, t. j. radom, v ktorom za každým kladným členom nasleduje záporný a za každým záporným členom kladný.

Označením - absolútnymi hodnotami členov radu a za predpokladu, že prvý člen je kladný, zapíšeme striedavý rad takto:

Pre série striedavých znakov existuje dostatočné kritérium pre Leibnizovu konvergenciu.

Leibnizov znak. Ak sa v striedavej sérii (34) absolútne hodnoty výrazov znížia:

a spoločný člen radu má tendenciu k nule: , potom rad konverguje a jeho súčet nepresiahne prvý člen radu.

Dôkaz. Uvažujme čiastočný súčet párneho počtu členov radu

Rozdeľme členov do dvojíc:

Keďže podľa podmienky sa absolútne hodnoty členov radu znižujú, všetky rozdiely v zátvorkách sú kladné, a preto je súčet kladný a zvyšuje sa s rastúcim .

Poďme si teraz napísať a zoskupiť výrazy iným spôsobom:

Súčet v hranatých zátvorkách bude tiež kladný. Preto za akúkoľvek hodnotu. Postupnosť párnych čiastkových súčtov sa teda zvyšuje s , pričom zostáva ohraničená. Preto má limit

Navyše, keďže je jasné, že Uvažujme teraz súčet nepárneho počtu členov:

Keď máme

keďže podľa podmienky a teda .

Čiastkové súčty párnych aj nepárnych čísel členov majú teda spoločnú limitu S. To znamená, že vo všeobecnosti, t.j. rad konverguje. Navyše, ako je zrejmé z dôkazu, súčet radu S nepresahuje prvý člen radu.

Príklad 1. Preskúmajte, či rad konverguje alebo diverguje

Riešenie. Táto séria spĺňa podmienky Leibnizovho testu:

Preto rad konverguje.

Prejdime teraz k všeobecnému prípadu striedavého radu. Budeme predpokladať, že v seriáli

čísla môžu byť kladné alebo záporné.

Pre takýto rad platí nasledovné dostatočné kritérium pre konvergenciu striedavého radu.

Veta. Ak pre striedavú sériu

séria zložená z absolútnych hodnôt jej členov konverguje

potom tento striedavý rad tiež konverguje.

Dôkaz. Uvažujme pomocný rad zložený z členov radu (37) a (38):

Členy radu (39) sa teda rovnajú členom konvergentného radu (38) alebo sú menšie. Preto rad (39) konverguje na základe porovnávacieho kritéria (pozri odsek 5, vetu 1 a poznámku pod čiarou na strane 501).

Vynásobením všetkých členov konvergentného radu (38) dostaneme konvergentný rad

(pozri odsek 3, veta 1). Uvažujme teraz rad, ktorý je rozdielom konvergentných radov (39) a (40)

Tento rad konverguje na základe vety 2, veta 3.

Séria (37) sa však získa z poslednej série vynásobením všetkých jej členov číslom 2:

Následne konverguje aj rad (37) (oddiel 3, 1. veta).

Príklad 2. Skúmajte konvergenciu striedavého radu (33).

Riešenie. Uvažujme rad zložený z absolútnych hodnôt členov tohto radu

Tento rad konverguje ako zovšeobecnený harmonický rad s exponentom . V dôsledku toho, na základe overeného kritéria, tento rad (33) tiež konverguje.

Táto funkcia je postačujúca, ale nie nevyhnutná. To znamená, že existujú striedavé rady, ktoré konvergujú, zatiaľ čo rady zložené z absolútnych hodnôt ich členov sa rozchádzajú.

Naozaj, zvážte sériu

ktorý zjavne konverguje podľa Leibnizovho kritéria. Medzitým číslo

zložený z absolútnych hodnôt členov daného radu je harmonický, a teda divergentný.

Hoci vyššie uvedené rady (33) a (42) konvergujú, povaha ich konvergencie je odlišná.

Séria (33) konverguje súčasne s radom (41), zloženým z absolútnych hodnôt svojich členov, zatiaľ čo rad (43), zložený z absolútnych hodnôt konvergentného radu (42), diverguje.

V tejto súvislosti uvádzame nasledujúce definície.

Definícia. Striedavý rad je absolútne konvergentný, ak rad zložený z absolútnych hodnôt jeho členov konverguje

Na základe dostatočného kritéria pre konvergenciu striedavého radu bude konvergentný každý absolútne konvergentný rad.

Definícia. Striedavý rad sa nazýva neabsolútne konvergentný, ak konverguje, ale rad zložený z absolútnych hodnôt jeho členov sa rozchádza.

Ak sa vrátime k vyššie uvedeným príkladom, môžeme povedať, že séria (33) je absolútne konvergentná a séria ( nie je absolútne konvergentná.

Striedavé rady sú série, ktorých členovia môžu mať ľubovoľné znamienka, napríklad .

Najmä, ak kladné a záporné členy radu nasledujú striedavo, potom sa takýto striedavý rad nazýva striedavý.

Striedajúce sa riadky

Striedavý rad, ktorého členy sú kladné, možno znázorniť ako

Na štúdium konvergencie striedavých radov sa používa Leibnizov test.

Leibnizov znak. Striedavý rad konverguje, ak absolútne hodnoty jeho členov klesnú a spoločný člen má tendenciu k nule, to znamená, ak sú splnené tieto dve podmienky:

1)
a 2)
.

Pomerne významnú triedu konvergentných radov tvoria takzvané absolútne konvergentné rady. Okrem toho môžu byť členmi takého radu akékoľvek reálne čísla.

Definícia 9.5. riadok sa hovorí, že je absolútne konvergentná, ak konverguje
.

Veta 9.4. Ak riadok
konverguje, potom aj séria tiež konverguje.

Táto veta hovorí, že ak je séria absolútne konvergentná, potom jednoducho konverguje.

Treba poznamenať, že:

1) pre rady konštantných znamienok sa pojmy konvergencie a absolútnej konvergencie zhodujú;

2) rad sa nazýva podmienene konvergentný, ak konverguje, a rad
sa rozchádza.

Uvažujme d'Alembertove a Cauchyho testy pre ľubovoľné striedavé série.

D'Alembertov znak. Ak existuje
, potom, keď
riadok absolútne konverguje, keď
séria bude divergentná kedy
znak nerieši otázku konvergencie radu.

Problém 9.7. Preskúmajte konvergenciu radu

Tu po každých dvoch kladných členoch série nasledujú dva negatívne. Na štúdium konvergencie takéhoto radu používame D'Alembertov test.

.

Pôvodný rad konverguje pomocou D'Alembertovho kritéria.

Problém 9.8. Preskúmajte rad na absolútnu konvergenciu

Tu
. Pre takúto sériu sú splnené tieto podmienky:

A)

b)
. V dôsledku toho pôvodný rad konverguje v súlade s Leibnizovým kritériom.

Daný rad skúmame na absolútnu konvergenciu. Ak to chcete urobiť, vytvorte sériu
z absolútnych hodnôt:

Takáto séria je nekonečne klesajúca geometrická postupnosť, ktorá vždy konverguje. Pôvodná séria teda absolútne konverguje.

Problém 9.9. Preskúmajte konvergenciu radu

Tu
, preto je rad divergentný, pretože nie je splnená podmienka konvergencie.

Téma 9.2. Funkčná séria

Nech je uvedená nasledujúca postupnosť funkcií
, t.j.

ktorý je definovaný na určitej množine. Ak sú členy takejto postupnosti spojené so znamienkom plus, dostaneme výraz

alebo
. Takéto výrazy sa nazývajú funkčné rady a funkcie
sa nazýva spoločný termín série.

Čiastkové súčty série
sa nazývajú funkcie formy

Funkčný rozsah
nazývaný konvergentný at
alebo v bode ( ), ak sa postupnosť jeho čiastkových súčtov v tomto bode zbližuje:

Inými slovami, možno poznamenať, že funkčný rad
konverguje pri
, ak číselný rad konverguje
.

Limit sekvencie
, označme to ako
, sa nazýva súčet radu
v bode .

Definícia 9.6. Sada všetkých hodnôt , pre ktoré rad konverguje
, sa nazýva oblasť konvergencie tohto radu.

Nechaj
potom na segmente
v posudzovanom segmente. V tomto prípade si všimnite, že funkcia
sa rozrastie do série v segmente
.

Ako sa ukázalo, konvergencia funkčného radu na intervale
znamená, že pre akúkoľvek hodnotu segment
príslušný číselný rad konverguje. V tomto ohľade na štúdium konvergencie funkčných radov možno použiť znaky konvergencie číselných radov.

Problém 9.10. Nájdite oblasť konvergencie radu

Táto séria môže byť reprezentovaná kompaktne nasledovne

.

Táto séria je vhodná pre každého
. Naozaj, pre každého
súčet série je (súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie). Teda v intervale
pôvodný rad definuje funkciu

Definícia 1

Číselný rad $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, ktorého členy majú ľubovoľné znamienka (+), (?), sa nazýva striedavý rad.

Vyššie diskutované striedavé rady sú špeciálnym prípadom striedavého radu; Je jasné, že nie každá striedavá séria je striedavá. Napríklad séria $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ striedajúci sa, ale nie striedavý rad.

Všimnite si, že v striedavom rade je nekonečne veľa výrazov so znamienkom (+) aj so znamienkom (-). Ak to nie je pravda, napríklad séria obsahuje konečný počet záporných členov, potom ich možno zahodiť a možno zvážiť sériu zloženú iba z kladných členov a naopak.

Definícia 2

Ak číselný rad $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konverguje a jeho súčet sa rovná S a čiastkový súčet sa rovná $S_n$ , potom $r_(n) ) =S-S_( n) $ sa nazýva zvyšok série a $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_(n) =\mathop(\lim )\limits_(n\ až \infty ) (S-S_(n ))=S-S=0$, t.j. zvyšok konvergentného radu má tendenciu k 0.

Definícia 3

Séria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ sa nazýva absolútne konvergentná, ak sa séria skladá z absolútnych hodnôt jej členov $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\left|u_(n) \right| $.

Definícia 4

Ak číselný rad $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konverguje a rad $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_ (n )\vpravo| $, zložený z absolútnych hodnôt svojich členov, diverguje, potom sa pôvodný rad nazýva podmienene (nie absolútne) konvergentný.

Veta 1 (dostatočné kritérium pre konvergenciu striedavého radu)

Striedavý rad $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konverguje a absolútne, ak rad zložený z absolútnych hodnôt jeho členov konverguje $\sum \limits _( n=1)^ (\infty )\left|u_(n) \right| $.

Komentujte

Veta 1 poskytuje len dostatočnú podmienku pre konvergenciu striedavých radov. Opačná veta neplatí, t.j. ak striedavý rad $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konverguje, potom nie je nutné, aby rad zložený z modulov $\sum \limits _(n=1) ^( \infty )\left|u_(n) \right| $ (môže byť konvergentný alebo divergentný). Napríklad séria $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ konverguje podľa Leibnizovho kritéria a rad zložený z absolútnych hodnôt jeho členov $\sum \limits _(n=1 )^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (harmonický rad) diverguje.

Nehnuteľnosť 1

Ak je rad $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ absolútne konvergentný, potom konverguje absolútne pre akúkoľvek permutáciu svojich členov a súčet radu nezávisí od poradie podmienok. Ak $S"$ je súčet všetkých jeho kladných členov a $S""$ je súčet všetkých absolútnych hodnôt záporných členov, potom súčet radu $\sum \limits _(n=1) ^(\infty )u_(n) $ sa rovná $S=S"-S""$.

Nehnuteľnosť 2

Ak je séria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ absolútne konvergentná a $C=(\rm const)$, potom séria $\sum \limits _(n= 1)^ (\infty )C\cdot u_(n) $ je tiež absolútne konvergentné.

Nehnuteľnosť 3

Ak sú rady $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ a $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ absolútne konvergentné, potom rady $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ sú tiež absolútne konvergentné.

Vlastnosť 4 (Riemannova veta)

Ak je rad podmienene konvergentný, potom bez ohľadu na to, aké číslo A vezmeme, môžeme zmeniť usporiadanie členov tohto radu tak, aby sa jeho súčet presne rovnal A; Okrem toho je možné zmeniť usporiadanie členov podmienene konvergentného radu tak, aby sa potom rozchádzal.

Príklad 1

Preskúmajte sériu z hľadiska podmienenej a absolútnej konvergencie

\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}

Riešenie. Tento rad je striedavý, ktorého všeobecný výraz bude označený: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}

Príklad 2

Preskúmajte sériu $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ na absolútnu a podmienenú konvergenciu.

1. Preskúmajme rad na absolútnu konvergenciu. Označme $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ a zostavme sériu absolútnych hodnôt $a_(n) =\ left|u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Dostaneme sériu $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ s kladnými členmi, na ktoré aplikujeme limitný test na porovnávanie radov. Pre porovnanie so sériou $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) )(n+1) $ zvážte sériu, ktorá má tvar $\súčet \limity _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\súčet \limity _(n=1)^( \infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Táto séria je Dirichletova séria s exponentom $p=\frac(1)(2)
2. Ďalej preskúmame pôvodný rad $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ pre podmienené konvergencie. K tomu kontrolujeme splnenie podmienok Leibnizovho testu. Podmienka 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, kde $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , t.j. táto séria sa strieda. Na kontrolu podmienky 2) o monotónnom poklese členov radu použijeme nasledujúcu metódu. Zvážte pomocnú funkciu $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ definovanú v $x\in )